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四边形面积问题试证明在给定边长的四边形以圆的内接四边形具有最大面

2008-03-12 16:57:40m***
试证明在给定边长的四边形以圆的内接四边形具有最大面积。四边形面积问题试证明在给定边长的四边形以圆的内接四边形具有最大面积。：对于凸四边形用四边长及对角之和表示面积，共有四种。 1/一般凸四边形，F=√[(s-a)?

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  • 对于凸四边形用四边长及对角之和表示面积，共有四种。 1/一般凸四边形，F=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos(α+β)]. 2/有外接圆凸四边形，F=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]. 3/有内切圆凸四边形，F=√[abcdcos(α+β)]. 4/双面凸四边形，F=√[abcd]. 楼上的证法准确。
    2008-03-13 15:14:05
  •   设四边为a,b,c,d a,b夹角α,0°<α<180°, c,d夹角β,0°<β<180° 则有: 面积S=1/2absinα+1/2cdsinβ a^2+b^2-2abcosα=c^2+d^2-2cdcosβ absinα+cdsinβ=2S。
      。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(1) abcosα-cdcosβ=(a^2+b^2-c^2-d^2)/2。。。。。。
      (2) (1)^2+(2)^2 4S^2+[(a^2+b^2-c^2-d^2)/2]^2 =(ab)^2+(cd)^2+2abcd(sinαsinβ-cosαcosβ) =(ab)^2+(cd)^2-2abcdcos(α+β) 4S^2=(ab)^2+(cd)^2-[(a^2+b^2-c^2-d^2)/2]^2-2abcdcos(α+β) a,b,c,d为给定值 当cos(α+β)=-1,α+β=180°,4S^2最大,S最大 α+β=180°,四边形内接于圆。
    2008-03-13 13:39:32
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