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高中数学竞赛题1.设M是△ABC内的一点,且向量AB*向量AC=

2009-10-28 22:38:45凯***
1.设M是△ABC内的一点,且向量AB*向量AC=2√3,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MCA△MAB的面积,若f(p)=(1/2,x,y),则1/x+4/y的最小值是? 2.奇函数f(x)在R上为减函数,若对任意的x∈(0,1],不等式f(kx)+f(-x^2+x-2)>0恒成立,则实数k的取值范围为? 3.已知x,y满足1/4*x^2-4≤3/4*√(16-x^2) ,则函数z=|x+y-10|的最大值和最小值之和为?? 4.四面体ABCD中,AB=CD=6,其余的棱长均为5,则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于?? 麻烦各位学长了!高中数学竞赛题1.设M是△ABC内的一点,且向量AB*向量AC=2√3,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MCA△?

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  •   1。解：由向量内积定义，AB*AC*(√3)/2=2√3,AB*AC=4。 △ABC的面积=（AB*ACsin∠BAC）/2=1=1/2+x+y,y=1/2-x,设x=[(sinα)^2]/2, 1/x+4/y=1/x+4/(1/2-x)=2[1+(cotα)^2]+8[1+(tanα)^2]=10+2(cotα)^2+8(tanα)^2≥18,为所求。
       2。解：f(kx)+f(-x^2+x-2)>0， f(kx)>-f(-x^2+x-2)=f(x^2-x+2), f(x)在R上为减函数, 所以kx0,x∈(0,1],下面分两种情况： (1)g(x)最小值=[8-(k+1)^2]/4>0,-1-2√2=0,g(1)>0,g(x)在(0,1]单调， g(1)=2-k>0;(k+1)/2=1。
       k=1。 求交集，得k<=-1,或1<=k<2。 求（1）、（2）的并集得k<2,为所求。 4。解：设AB、CD的中点分别为E、F,连CE、CF、EF。 AB=6,AC=BC=5,所以CE⊥AB,CE=4,同理DE=4。CD=6,EF=√7。
       △CDE的面积=3√7，△ABC的面积=12。 易知AB⊥平面CDE,四面体ABCD的体积=AB*△CDE的面积/3=6√7。 四面体ABCD的表面积=4*△ABC的面积=48。 内切球的半径=3*四面体ABCD的体积/四面体ABCD的表面积=(3√7)/8。
       。 。 。
    2009-10-29 16:29:08
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