百科知识

教育/科学

如图，F1和F2分别是双曲线x^/a^-y^/b^=1(a&gt?

2008-08-13 22:06:38红***
如图，F1和F2分别是双曲线x^/a^-y^/b^=1(a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是正三角形，则双曲线的离心率为（ ）如图，F1和F2分别是双曲线x^/a^-y^/b^=1(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交?

最佳回答

  •   解:设圆与双曲线另一支的两个交点为C和D(C在x轴的下方,D在x轴的上方),则四边形ABCD是矩形,且对角线过原点,设过AC的直线为y=kx, OA=OF2=c,所以∠OAF2=∠OF2A,因为△F2AB是正三角形,所以∠OAF2=∠OF2A=30度,所以∠AOF1=∠OAF2+∠OF2A=∠60度,所以k=-√3 所以过AC的直线为y=-√3x,又因为圆的方程为x^2+y^2=c^2,A在圆上 所以A的坐标(-c/2,√3c/2),A又在双曲线上,把A代入双曲线方程得 c^2/(4a^2)-3c^2(4b^2)=1,即c^2/(4a^2)-3c^2/[4(c^2-a^2)]=1 e^2/4-3e^2/[4(e^2-1)]=1 整理得(e^2)^2-8e^2+4=0 解得e^2=4+2√3或4-2√3<1(舍去) 所以e^2=4+2√3=1+2√3+3=(1+√3)^2 所以e=1+√3 。
      
    2008-08-16 09:01:06
    • 很赞哦！ (148)

    相关文章