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线性代数已知向量组a1,a2,a3线性无关，又设b1=a1+a2

2006-05-26 23:50:46天***
已知向量组a1,a2,a3线性无关，又设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1,试证明：b1,b2,b3也线性无关。线性代数已知向量组a1,a2,a3线性无关，又设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1,试证明：b1,b2,b3也线性无关。：设b1，b2，b3k?

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  • 设b1，b2，b3k1b1+k2b2+k3b3=0 所以k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0 因为a1,a2,a3线性无关 所以k1+k3=0 k1+k2=0 k2+k3=0 所以k1=k2=k3=0 所以b1,b2,b3也线性无关
    2006-05-27 00:04:58
  • 这类题目用定义做当然是可以的，如上面那位的解答。但是想学好线性代数，最要紧的是什么东西都要想办法与矩阵搭上关系，因为线性代数从本质上说是“矩阵代数”，凡是与矩阵没有关系的东西，都不会在线性代数里讨论的。 用矩阵的初等变换做应该更方便，只要下面两个结论： 1.矩阵经初等变换，秩不变； 2.若向量组对应的矩阵的秩等于向量组中所含向量个数，这向量组线性无关；若向量组对应的矩阵的秩小于向量组中所含向量个数，这向量组线性相关。 下面是解法，<>内是所作的初等变换。 B=(b1,b2,b3)=(a1+a2,a2+a3,a3+a1)---- (a1-a3,a2-a1,a3+a1)----(a1,a2-a1,a3+a1) ----(a1,a2,a3)=A 因为向量组a1,a2,a3线性无关 ==> R(A)=3 ==> R(B)=3 ==> 向量组b1,b2,b3线性无关。
    2006-05-27 12:20:13
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