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已知F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a&gt?

2007-10-18 18:09:48圆***
已知F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右焦点，c为焦距，弦AB过右焦点F2，求三角形F1AB的面积的最大值已知F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)的左右焦点，c为焦距，弦AB过右焦点F2，求三角形F1AB的面积的最大值：解：设?

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  •   解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB与x轴夹角为A,c²=a²-b² 于是S△F1AB=S△AF1F2+S△BF1F2 ```````````=(1/2)|F1F2||y1-y2| ```````````=c|y1-y2|, 而c为定值,则在|y1-y2|取最大值时,S△F1AB最大。
       过F2的直线AB的方程为y=k(x-c) (若k存在),则x=y/k+c。 代入椭圆方程并整理得：(1/a²k²+1/b²)y²+2cy/a²k+c²/a²-1=0 |y1-y2|²=(y1+y2)²-4y1y2 ````````=4a²b^4k²(1+k²)/[b²+(b²+c²)k²] ````````=[2ab²/(c²sinA+b²/sinA)]² (1)当b≤c时,由sinA>0,得 |y1-y2|≤2ab²/2√(c²sinA·b²/sinA)=ab/c,S△F1AB≤c·ab/c=ab。
       当且仅当c²sinA=b²/sinA,sinA=b/c≤1时,S△F1AB的最大值为ab； (2)当b>c时, c²sinA+b²/sinA=c²sinA+c²/sinA+(b²-c²)/sinA ``````````````≥2c²+(b²-c²)/sinA ``````````````≥2c²+b²-c² ``````````````=a²。
       当且仅当sinA=1时,c²sinA+b²/sinA有最小值a²。 从而,S△F1AB≤c·2b²/a=2b²c/a,即S△F1AB有最大值2b²c/a。
    2007-10-18 18:36:42
  •   给你方法思路，自己求！！！ 设直线AB：y = k(x-c)， （其中　|F1F2| = 2c） 变为： x = (1/k)y + c ，令 1/k = n 则 直线AB：x = ny + c 与椭圆方程联立，消去x并整理得 (b^2 * n^2 + a^2)y^2 + 2nca^2 * y + a^2 * c^2 - a^2 * b^2 = 0 设 A(x1, y1)， B(x2, y2) ， 则 y1 + y2 = 。
      。。；y1 * y2 = 。。。 三角形F1AB的面积 = 三角形AF1F2的面积 + 三角形BF1F2的面积 　　　　　　　　 = 2c|y1|/2 + 2c|y2|/2 　　　　　　　　 = c(|y1| + |y2|) 　　　　　　　　 = c|y1 - y2| 　　　　　　　　 = c√[(y1 + y2)^2 - 4*y1*y2] 　　　　　　　　 = 。
      。。。。 是关于n的函数，自己整理 可以发现，当 n = 。。。 时，取最大值 最大值为。。。。。。。 。
    2007-10-18 18:30:37
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