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一道平面几何题，请高手帮忙解决已知：任意四边形ABCD中，M、N

2007-08-07 09:35:27y***
已知：任意四边形ABCD中，M、N为AC的三等分点，P、Q为BD的三等分点 求证：四边形MNQP的面积是四边形ABCD面积的三分之一一道平面几何题，请高手帮忙解决已知：任意四边形ABCD中，M、N为AC的三等分点，P、Q为BD的三等分点求证：四边形MNQP的面积是四边形ABCD面积的三分之一?

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  •   这题看似简单，做起来好烦！但可有二种考虑： （1）出现三角形或四边形边的等分点可添面积等分线！ （2）三等分点也是中点，本题出现多个中点，因此可添加三角形中位线基本图形来解！ 解法稍后打上来！ 略证： （1）连结MB，NB，CB，CQ， 易证S（△AMB）=S（△NMB）=S（△CNB） S（△AMB）=1/3S（△ACB） 同理s（△CDQ）=1/3S（△BCD）， S（△AMB）+S（△CDQ）=1/3S（四边形ABDC） 从而S（四边形MCQB）=2/3S（四边形ABDC） 即下去易证S（四边形MNQP）=1/2S（四边形MCQB） 所以四边形MNQ的面积=1/3四边形ABDC的面积 （2）连结AD取三等分点E，F，连结EM，EP，FN，FQ后 易证S（MNFE）=1/3S（△ACD），S（PQFE）=1/3S（△ABD） 即下去再证二个带色三角形面积相等后面积割补一下就可以了。
      自已去完成吧。
    2007-08-07 10:14:45
  • 过A点做AF//BD 交MP,NQ 于 K,O 易证 AK=KO=OF (可以通过三角形中线平分任意一条与底边平行的直线来证) 由梯形面积公式可得 OKPQ的面积为 AFDB的三分之一 在三角行 ACF中 因为知道AK=KO=OF AM=MN=NC 易得 MNOK得面积为三角形ACF的1/3 所以 四边形MNQP的面积是四边形ABCD面积的三分之一
    2007-08-07 10:27:54
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