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关于高二数学椭圆的问题!已知椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1

2006-01-01 11:27:45鸢***
已知椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1(a>b>0)上任意两点P,Q,O为原点,且OP⊥OQ, 求证:1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2为定值. 关于高二数学椭圆的问题!已知椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1(ab0)上任意两点P,Q,O为原点,且OP⊥OQ,求证:1/︱OP︱^2+1/?

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  • 我 看 晕 了 。 他 答 的 太 好 了 ！
    2006-01-01 12:45:25
  •   解：分两种情况： 1、当P、Q是坐标轴上的点时，1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2=1/(a)^2+1/(b)^2 2、当P、Q不是坐标轴上的点时，设 直线OP为：y=kx,由于OP⊥OQ，所以直线OQ为：y=1/k*x 将这两条直线带入椭圆方程： x^2/a^+(kx)^2/b^2=1, x^2/a^+(1/k*x)^2/b^2=1 化简： x^2=1/(1/a^2+k^2/b^2), x^2=1/[1/a^2+1/(kb)^2] 则，OP^2=x^2+y^2=(k^2+1)x^2=(k^2+1)/(1/a^2+k^2/b^2) OQ^2=x^2+y^2=(1/k^2+1)x^2=(1/k^2+1)/[1/a^2+1/(kb)^2] 因此，1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2=(1/a^2+k^2/b^2)/(k^2+1) +[1/a^2+1/(kb)^2]/(1/k^2+1) =1/(a)^2+1/(b)^2 由此可见，1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2=1/(a)^2+1/(b)^2 所以，1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2为定值。
      证毕。 。
    2006-01-01 12:06:31
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