已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线l:y=-4?
2009-02-04 19:51:27a***
已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线l:y=-4x+1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为3/4
(1)求抛物线C的方程。
(2)试问:是否存在定点M0,使过M0的动直线与抛物线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆过原点。
已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线l:y=-4x+1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为3/4(1)求抛物线C的方程。(2)试问:是否存?
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可得到 p=-3。 p=-3不符合题意,实际上直线与抛物线根本没有交点, 或者说方程组 y=-4x+1,y^2=2px 无解。 这就充分说明了楼主的题目要不是抄错了,就是题目本身就是错的。 [1] 在M的横坐标为3/4的情况下,重复上面的过程, 则根据x=(y-1)/(-4)可求出其横坐标为 -2,即 M=(3/4,-2)。
将 y=-4x+1 代入 y^2=2px ,得 16x^2-(2p+8)x+1=0 ,设他的两个不同的实数根为 x1和x2, 则根据 (1)中点坐标公式 (x1+x2)/2=3/2; (2)韦达定理 x1+x2=(2p+8)/16。
可得到 p=8, 即所求抛物线C的方程是 y²=16x [2] 若以PQ为直径的圆过坐标原点O,则OP⊥OQ, 设OP的斜率为k,则OQ的斜率是-1/k。 由 y=kx,y²=16x,可求得 P=(16/k^2,16/k) 由 -ky=x,y²=16x,可求得 Q=(16k^2,-16k) 先求出直线 PQ的斜率 k/(1-k^2), 进一步求出直线 PQ的方程 (1-k^2)y=k(x-16)。
可见满足题意的直线 PQ确实经过一个定点,那就是 M=(16,0)。
2009-02-10 21:54:48
2009-02-06 09:26:38
2009-02-06 09:09:49
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