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函数问题已知定义域为R的函数f(x)满足ff(x)-x^2+x

2009-08-07 10:08:28γ***
已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x，设有且仅有一个实数x'，使得f(x')=x'，求函数f(x)的解析式。函数问题已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x，设有且仅有一个实数x'，使得f(x')=x'，求函数f(x)的解析式。?

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  • 因为对任意x∈R，有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x 又因为有且只有一个实数x'，使得f(x')＝x' 所以对任意，有f(x)－x^2＋x＝x',在上式中令x=x'，有f(x')－x'^2＋x'＝x' 又因为f(x')＝x'，所以－x'^2 ＝0，故x'＝0或x'＝1 若x'＝0，则f(x)－x^2＋x＝0，即f(x)＝x^2－x 但方程x^2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x'≠0 若x'＝1，则有则f (x)－x^2＋x＝1，即f (x)＝x^2－x＋1。易验证函数满足题设条件。 综上，所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）
    2009-08-07 10:13:23
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