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求椭圆的所有互相垂直的两切线交点的轨迹.

2011-03-24 13:13:06s***
求椭圆的所有互相垂直的两切线交点的轨迹.：设x^2/a^2+y^2/b^2=1两互相垂切线交点为(x0,y0), 则切线为y-y0=k(x-x0). 切线代?

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  • 设x^2/a^2+y^2/b^2=1两互相垂切线交点为(x0,y0), 则切线为y-y0=k(x-x0). 切线代入椭圆整理,得 (a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(y-kx0)x+a[(y-kx0)^2-b^2]=0. 上式判别式为0,故 △=a^4k^2(y-kx0)^2-(a^2k^2+b^2)a^2[(y-kx0)^2-b^2]=0 即(a-x0^2)k^2+2x0y0k+(b^2-y0^2)=0 因切线两两垂直相交, 即上述关于k的方程中有k1*k2=-1, 故依韦达定理得 (b^2-y0^2)/(a^2-x0^2)=-1 即所求轨迹方程为: x0^2+y0^2=a^2+b^2.
    2011-03-24 13:49:14
  • 所求的轨迹是一个圆。 若椭圆的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1,则所求的轨迹方程是 x^2+y^2=a^2+b^2
    2011-03-24 13:30:08
  • x^2+y^2=a^2+b^2
    2011-03-24 13:26:42
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