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求正整数解求方程组的正整数解xy+yz+zx=12x+y+z+2

2012-11-17 20:01:46q***
求方程组的正整数解 xy+yz+zx=12 x+y+z+2=xyz求正整数解求方程组的正整数解xy+yz+zx=12x+y+z+2=xyz：以下是阿炳老师老师做的 呈上?

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  • 以下是阿炳老师老师做的 呈上
    2012-11-18 07:54:12
  •   求方程组的正整数解 xy+yz+zx=12 x+y+z+2=xyz xy=12-z(x+y) x+y+z+2=[12-z(x+y)]z=12z-z^2(x+y) (x+y)z^2-11z+x+y+2=0 (-11)^2-4(x+y)(x+y+2)≥0 -4(x+y)^2-8(x+y)+121≥0 0＜x+y≤(5√5)/2-1＜5 x+y可能是2、3、4; 如果x+y=2,一定是x=1,y=1,有xy=1。
      则1+2z=12,2+z+2=z矛盾! 如果x+y=3,一定是x=1,y=2;或x=2,y=1有xy=2。则2+3z=12,----z=10/3,3+z+2=2z----z=5/2矛盾! 如果x+y=4,可能是x=1,y=3,有xy=3。
      则3+4z=12,--z=9/4矛盾! 还可能x=y=2,有xy=4,4+4z=12------z=2,2+2+z+2=4z----z=2。 故不定方程组的解是x=y=z=2。
    2012-11-17 22:18:44
  • 解： 显然x, y, z均为偶数 设x=2a, y=2b, z=2c {ab+ac+bc=3 {a+b+c+1=4abc 只有当ab=ac=bc=1 ⇔ a=b=c=1时ab+ac+bc=3才能成立 此时a+b+c+1=4abc也成立 所以只有一组解(x,y,z)=(2,2,2)
    2012-11-17 21:54:55
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