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相似矩阵证明任一复方阵必相似于一个上三角阵，且该上三角阵之对角线

2008-06-18 20:42:22数***
证明任一复方阵必相似于一个上三角阵，且该上三角阵之对角线元素为该矩阵的特征值相似矩阵证明任一复方阵必相似于一个上三角阵，且该上三角阵之对角线元素为该矩阵的特征值：用归纳法. A为n阶方阵. 1. n=1时,命题显然. 2?

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  •   用归纳法。 A为n阶方阵。 1。 n=1时,命题显然。 2。 设n=k时,命题成立。 当A为k+1阶方阵时, 取p1为A的一个特征向量, Ap1=λp1。 取p2,p3,。。,p(k+1)使 p1,p2,p3,。。,p(k+1)为C^(k+1)的一个基。
       设矩阵P=(p1,p2,。。,p(k+1)) ==> P^(-1)AP=P^(-1)(AP1,AP2,。。。,AP(K+1))= =P^(-1)(λP1,AP2,。。。,AP(K+1))= =(P^(-1)λP1,P^(-1)AP2,。
      。。,P^(-1)AP(K+1))= =(λE1,P^(-1)AP2,。。。,P^(-1)AP(K+1)), 其中E1=(1,0,0。。,0)^t ==> P^(-1)AP= λ,b 0,A1 其中A1为为k阶方阵。 根据假设,Q^(-1)A1Q=B为k阶上三角阵, 其对角线元素为该矩阵的特征值。
       设k+1阶方阵R= 1,0 0,Q ==> R^(-1)= 1,0 0,Q^(-1) ==> R^(-1)P^(-1)APR= λ,bQ 0,B 是k+1阶上三角阵,其对角线元素为该矩阵的特征值。 命题得证。 上面使用矩阵的分块乘法。
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    2008-06-19 08:49:11
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