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一道数学题抛物线y=x^2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B

2006-05-19 19:18:57阎***
抛物线y=x^2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于C点。问该抛物线上是否存在点Q使得△AQC周长最小？如果存在，试求Q点座标。 问题补充：也就是已知A(-1,0)和B(3,0），问抛物线y=x^2-2x-3上是否存在点Q，使得△AQC周长最小？一道数学题抛物线y=x^2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于C点。问该抛物线上是否存在点Q使得△AQC周长最小？如果存在，试求Q点座标?

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  •   第一问： 设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c， 则其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)， 所以由已知可得： -b/2a=1 (4ac-b^2)/4a=3 c=2 解得：a=5，b=-10，c=2。
       所以解析式为y=5x^2-10x+2。 第三问： 设平行于于X轴的一条直线的方程为y=d，代入抛物线解析式y=5x^2-10x+2， 解得：x=[5±√(15+5d)]/5， 所以M、N的坐标分别为([5+√(15+5d)]/5，d)、([5-√(15+5d)]/5，d)， 所以MN=[2√(15+5d)]/5， 因为圆恰好与X轴相切， 所以MN/2=r=d， 即[√(15+5d)]/5=d， 解出d即可。
       关于“二次函数y＝ax^2 bx c的图象”的常见问题】 常见问题1: 什么是二次函数?它的图象是什么? 问题： 什么是二次函数?它的图象是什么? 解答: 答：y=ax2+bx+c(a、b，c是常数，a≠O)是二次函数，它的图象是抛物线． 常见问题2: 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标是什么? 问题： 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标是什么? 解答: 答：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是X=- ，顶点坐标是(- ， )． 常见问题3: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： (1)顶点为(-1，3)，且经过点(1，-5)，求抛物线解析式；(2)对称轴为x＝2，并且经过点M(-1，0)和N(3，16)，求抛物线解析式。
       解答: 笨解：(1)抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(- , )，所以有 - ＝-1, ＝3,又抛物线经过点(1，-5)，把点(1，-5)代入解析式得-5＝a+b+c，从而可得方程组 - ＝-1 ＝3 -5＝a+b+c 解得 a＝-2 b＝-4 c＝1 ∴y=-2x2-4x+1 (2)由题意得方程组- ＝2 0＝a-b+c 16＝9a+3b+c 解得 a＝-2 b＝8 c＝10 ∴y＝-2x2+8x+10 巧解： (1)∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(-1，3)， ∴抛物线可写成y＝a(x+1)2+3形式，又由于它过点(1，-5)，所以-5＝a(1+1)2+3,得a＝-2,∴y＝-2(x+1)2+3＝-2x2-4x+1。
       (2)∵函数图像关于直线x＝2对称，且图像经过M(-1，0)点，则由对称性，图像必过(5，0)点，抛物线可写成y＝a(x+1)(x-5)的形式，又过点N(3，16)，∴16＝a(3+1)(3-5)，∴a＝-2， ∴y＝-2(x+1)(x-5)＝-2x2+8x+10。
       注 求二次函数解析式的问题可根据题设的不同说法，选择简单、合理的求法。 常见问题4: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q(0，-3)，与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8，求其解析式。
       解答: 分析 由已知抛物线与y轴交于Q(0，-3)，可知c＝-3。要求其解析式，关键就是求b的值。∵SPAB＝ ｜AB｜·h，这里h是抛物线顶点纵坐标的绝对值。即h＝｜ ｜＝｜ ｜,｜AB｜＝ ＝ ,∴可得到关于b的方程，解方程即可求出b的值。
       解 将(0，-3)代入y＝ax2+bx+c,得c＝-3。 ∵｜AB｜＝｜x2-x1｜＝ ＝ ＝ , 顶点P的纵坐标为 ＝ , ∴由三角形面积公式得 ·｜ ｜＝8。 ∴ ·(b2+12)＝64。 设 ＝m，则b2+12＝m2, m·m2＝64，m3＝64,m＝4。
       ∴ ＝4,b2＝4,b＝±2。 ∵b与a异号，∵a＝1＞0，∴b＜0，∴b＝-2。 ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3。 常见问题5: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 图13-16 如图13-16，已知抛物线y＝-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点。
       (1)求m的取值范围； (2)若m＜0，直线y＝kx-1经过点A，与y轴交于点D，且AD·BD＝5 ，求抛物线的解析式。 (3)若A点在B点的左边，在第一象限内(2)中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分ΔACD的面积?若存在，求出P点的坐标；若不存在。
      请说明理由。 解答: 分析 本题是二次函数、一次函数、及几何图形面积的综合问题，(3)是探索性问题。探索存在型问题的一般思路是：先对结论作出假设，然后由此出发，进行计算、推理，再对得出的结果进行分析、检验，判断是否与题设、公理相符，若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象的存在；否则，说明不存在。
       解 (1)因为抛物线y＝-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴有两个交点，∴Δ＞0； 又由图像可知对称轴x＝- ＞0；抛物线在y轴上的截距c＜0，即m满足 解得m的取值范围是m＜1且m≠-2。 (2)易求出抛物线与x轴的两交点的坐标为(1-m,0),(3,0)，又D(0，1)，由勾股定理可知 AD、BD的长为 , 。
       ∵AD·BD＝5 ∴ , ＝5 ，得m1＝-1,m3＝3。 ∵m＜0，故取m＝-1。 ∴抛物线解析式为y＝-x2+5x-6。 (3)假设在第一象限内，抛物线上存在点P使直线PA平分ΔACD的面积，则直线PA必过DC中点M。
       由D(0，-1)，C(0，-6)可知M点坐标为(0, )， 又由A(2，0)，B(3，0)知，过A、M两点的直线PA的解析式为 y＝ x- 。 由y＝ x- , y＝-x2+5x-6得 x1＝2, y1＝0, x2＝ , y2＝- 。
       ∴点P的坐标为(2，0)，或( ，- )。 由于这两点均不在第一象限，故在第一象限内抛物线上不存在点P，使PA平分ΔACD的面积。 常见问题6: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 函数y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐标系中正确的示意图(图13-20)是( ) 图13-20 解答: 分析：本题主要考查函数图象与性质的关系。
       B中，直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，a＞0，b＞0；而抛物线开口向下，a＜0，与前者矛盾。 同理，可排除结论C。 D中，直线y＝ax+b经过第二、三、四、象限，a＜0，b＜0；抛物线开口向下，a＜0，但抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在第一象限，- ＞0，则b＞0与b＞0矛盾，故结论D也不成立。
       A中直线y＝ax+b经过第一、二、三、象限，a＞0，b＞0；抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，a＞0，又其顶点在第二象限，- ＜0，得b＜0，故选A。 解 选A。 注 此类题的实质是根据图像位置，确定系数的符号，关键是掌握不同位置的抛物线的特点。
       常见问题7: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 图13-21 如图13-21，函数y＝(k-2)x2- x+(k-5)的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标x0是 。
       解答: 分析 本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，关键在建立抛物线与x轴交点个数与Δ间关系以及抛物线与x轴交点横坐标与相应一元二次方程根之间的关系。 解 ∵抛物线y＝(k-2)x2- x+(k-5)与x轴只有个交点， ∴(- )2-4(k-2)(k-5)＝0。
       整理得4k2-28k+33＝0, k1＝ ，k2＝ 。 当k＝ 时，k-2＞0，抛物线开口向上不符合题意。舍去。 当k＝ 时，k-2＜0，适合题意。∴k＝ 。 把k＝ 代入(k-2)x2- x+(k-5)＝0， 得x2+2 x+7＝0,(x+ )2＝0, x1＝x2＝- 。
       即交点的横坐标x0是- 。 注 解答本题要注意其中的隐含条件k-2≠0，即k≠2的情形，并要结合题中给出的图形对求得的值进行必要的取舍。 常见问题8: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图像与x轴总有交点。
      (1)求m的取值范围；(2)当函数的图像与x轴两交点横坐标的倒数和等于-4时，求m的值。 解答: 分析 本题考查二次函数与一元二次方程间的联系，重在把二次函数问题转化为一元二次方程知识，借助根的判别式和根与系数关系求解。 解 (1)当m+6＝0时，函数y＝(m+6)x2+2(m-1)x+m+1＝-14x-5与x轴有交点。
       当m+6≠0时， Δ＝4(m-1)2-4(m+6)(m+1)＝-14m-5≥0， 解得m≤- 。 即当m≤- 且m≠-6时，抛物线与x轴有交点。 综合m+6＝0且m+6≠0两种情况可知，当m≤- 时，此函数的图像与x轴有交点。
       (2)设x1,x2是方程(m+6)x2+2(m-1)x+m+1＝0的两根，则x1+x2＝- ，x1x2＝ , ∵ + ＝-4,即 ＝-4， ∴- ＝-4，解得m＝-3。 且当m＝-3时，m+6≠0，Δ＞0，符合题意。
       ∴m的值是-3。 注 解答本题有以下两点要特别注意： (1)中m的值不确定，故应考虑m+6＝0时的情况。当x+6＝0，即x＝-6时，y＝＝-14x-5与x轴有一个交点；当m+6≠0时，函数是二次函数，其图像与x轴有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，∴Δ≥0，故原解法不严谨导致错误。
      (2)中函数是二次函数，解题时应考虑隐含条件m+6≠0或Δ＞0。 常见问题9: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 图13-22 如图13-22，ΔABC中，BC＝4，∠B＝45°，AB＝3 ，M、N分别为AB，AC上的点，MN∥BC，设MN＝x，ΔMNC的面积为S。
      (1)求出S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(2)是否存在平行线段MN，使ΔMNC的面积等于2，若存在，求出MN的长；若不存在，请说明理由。 分析 本题是建立在几何量间的函数关系式，题中有平行线和三角形面积的题设，故应联想相似三角形性质，在建立了几何量间关系式后，根据已知条件，可转化为一元二次方程知识求解。
       解答: 解 (1)过A做AD⊥BC于D，在RtΔABD中，AB＝3 ，∠B＝45°， ∴AD＝3 ·sin45°＝3 × ＝3。 设ΔMNC的MN边上的高为h，∵MN∥BC，MN＝x,BC＝4, ∴ ＝ ，解得h＝ ∴S＝ MN·h＝ ·x· ＝- x2+ x。
       自变量x的取值范围是0＜x＜4。 (2)若存在平行线段MN，使SΔMNC＝2，则方程- x2+ x＝2有实数解，而此时Δ＜0，与方程有实数解矛盾。∴不存在符合要求的平行线段MN。 注：本例应用相似三角形对应高线之比等于相似比的性质建立函数关系式。
       解这类问题的基本方法是：首先根据已知条件和有关图形的度量性质(如三角形内角和定理及其推论、勾股定理、多边形的内角和定理及其推论、平行线分线段成比例定理及其推论、三角形和梯形中位线定理、相交弦定理及其推论、切割线定理其及推论、几何图形的面积公式和几何图形的面积关系等)确定函数和自变量之间的等量关系，然后再经过适当的恒等变形，即可得到几何元素间的函数关系式。
       常见问题10: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 图13-23 例5 有一个抛物的立交拱桥，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里(如图13-23所示)。若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长? 解答: 分析：抛物线的一般形式是y＝ax2+bx+c,由已知A、B及顶点的坐标，可列出三个方程，进而求出三个特定系数，得抛物线的解析式。
      将铁柱竖直处的横坐标代入抛物线的解析式，即可得铁柱的长度。 解 设抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c, 由已知，抛物线过A(0，0)，B(40，0)，C(20，16)三点，得 1600a+40b+c＝0, 400a+20b+c＝16。
       解这个方程组，得 a＝- ,b＝ ,c＝0。 ∴抛物线为y＝- x2+ x。 在距离M点5m处有两点，它们的横坐标是x1＝15或x2＝25。 ∴y1＝( )·152+ ·15=15。 y2＝( )·252+ ·25=15。
       ∴铁柱应取15m长。 注：1。此题关键是求出抛物线的解析式，实质是已知一个二次函数图像上三个点的坐标，用待定系数法求出这个函数的解析式，也可利用顶点式y=a(x-20)2+16，由(0，0)在抛物线上，求出a，进而得出抛物线的解析式。 2。
      要注意把实际问题抽象成数学问题。如把桥拱的最大高度抽象为抛物线顶点的纵坐标，把铁柱长度抽象为抛物线上横坐标为15或25的点的纵坐标等等。 3。如果以跨度中心M点为原点建立直角坐标系，也可用同样的思路方法解决这一实际问 。
    2006-05-20 22:20:17
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