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在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,a(n+2)-a(n+?

2011-08-01 14:05:152***
在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,a(n+2)-a(n+1)-2an=0(n属于正整数),求an在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,a(n+2)-a(n+1)-2an=0(n属于正整数),求an：a(n+2)-a(n+1)-2an=0 =>a(n+?

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  •   a(n+2)-a(n+1)-2an=0 =>a(n+2)-2a(n+1)=-(a(n+1)-2an)=(-1)(a(n+1)-2an) 同理可得 a(n+1)-2an=(-1)(an-2a(n-1)) an-2a(n-1)=(-1)(a(n-1)-2a(n-2)) 。
      。。。。。 a3-2a2=(-1)(a2-2a1) 因此有 an-2a(n-1)=(-1)^(n-2)(a2-2a1) 因为a1=1, a2=3 所以 an-2a(n-1)=(-1)^(n-2) =>an=2a(n-1)+(-1)^(n-2) 类似地，有 a(n-1)=2a(n-2)+(-1)^(n-3) a(n-2)=2a(n-3)+(-1)^(n-4) 。
      。。。。。 a3=2a2+(-1)^1 因此有 an=2a(n-1)+(-1)^(n-2) =(2^2)a(n-2)+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2) =(2^3)a(n-3)+2^2(-1)^(n-4)+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2) 。
      。。。。。 =2^(n-2)a2+2^(n-3)(-1)+2^(n-4)(-1)^2+。。。+2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2) 令Sn=2^(n-3)(-1)+2^(n-4)(-1)^2+。。。
      +2(-1)^(n-3)+(-1)^(n-2) Sn是公比为-1/2的等比数列，可求得 Sn=1/3(-2^(n-2)+(-1)^(n-2)) 所以有 an=2^(n-2)a2+1/3(-2^(n-2)+(-1)^(n-2)) =3*2^(n-2)-1/3*2^(n-2)+1/3*(-1)^(n-2) =8/3*2^(n-2)+1/3*(-1)^(n-2) =1/3(2^(n+1)+(-1)^(n-2)) 。
    2011-08-04 20:56:09
  • 由已知整理得：a(n+2)-2a(n+1)=-[a(n+1)-2(n)] 根据等比数列的定义：数列{a(n+1)-2a(n)}是以(a2-2a1)为首项(-1)为公比的等比数列 ∵a2-2a1=1，∴a(n+1)-2an=(a2-2a1)×(-1)^(n-1)=(-1)^(n-1) 再整理：a(n+1)+(1/3)×(-1)^n=2×[an+(1/3)×(-1)^(n-1)] 根据等比数列的定义：数列{an-(1/3)×(-1)^n}是以(a1+1/3)为首项2为公比的等比数列 an-(1/3)×(-1)^n=(a1+1/3)×2^(n-1) ∴a)=(1/3)×2^(n+1)+(1/3)×(-1)^n
    2011-08-02 06:47:51
  • a(n+2)-2a(n+1)=-[a(n+1)-2(n)] a(n+1)-2a(n)=(a2-2*a1)*(-1)^(n-1)=(-1)^(n+1) a(n+1)+(1/3)*(-1)^n=2*[a(n)+(1/3)*(-1)^(n-1)] a(n)-(1/3)*(-1)^n=(a1+1/3)*2^(n-1) a(n)=(1/3)*2^(n+1)+(1/3)*(-1)^n
    2011-08-01 15:48:43
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