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已知F1F2分别是椭圆E已知F1，F2分别是椭圆E:x^2/a^

2012-03-31 14:42:172***
已知F1，F2分别是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点，A，B是椭圆上关于椭圆中已知F1，F2分别是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点，A，B是椭圆上关于椭圆中心对称的两点（不在X轴上），四边形AF1BF2周长为4√2，对角线AB长的最小值为2 ①求椭圆E的方程 ②若圆x^2+y^2=2/3的切线l与椭圆E相交于PQ两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP与OQ是否垂直？若垂直，请证明。若不垂直，请说明理由已知F1F2分别是椭圆E已知F1，F2分别是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点，A，B是椭圆上关于椭圆中已知F1，F2分别是椭圆E:x^2/?

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  •   (1) ∵ 四边形AF1BF2周长=2a=2√2, ∴ a=√2。设A(acosθ,bsinθ),B(-acosθ,-bsinθ),则|AB|²=4(a²cos²θ+b²sin²θ)=8-4c²sin²θ≥8-4c², |AB|²的最小值=8-4c²=4, ∴ c=1, b²=1。
      椭圆的方程为 (x²/2)-y²=1。 (2) OP与OQ不垂直,证明如下: 设P(x1,y1),Q(x2,y2),⊙O的切线L:y=kx+m,代入椭圆方程,得(1+2k²)x²+4mkx+2m²-2=0, ∴ x1+x2=-4mk/(1+2k²),x1x2=2m²-2/(1+2k²),y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+mk(x1+x2)+m²。
      若OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0,即(1+k²)x1x2+mk(x1+x2)+m²=0,把x1x2,x1+x2的表达式代入,得(3m²-2k²-2)/(1+2k²)=0, ∴ 3m²-2k²-2=0。
      。。(*),但直线L与⊙O相切, ∴ |m|/(1+k²)=√(3/2), 代入(*)式得 k²=-1,这是不可能的, ∴ OP与OQ不垂直。
    2012-03-31 17:34:20
  • 1. 四边形AF1BF2周长 = 4a = 4√2 所以a =√2, AB在短轴上时，长度最小，所以2b =2, b =1; 所以椭圆的方程为：　x^2/2+y^2 = 1; 2. 设切线方程为：　y = kx+m, 所以　｜m|/√(1+k^2) = √(2/3); 所以　2+2k^2 = 3m^2; 将　y=kx+m 代入椭圆并化简得：（1+2k^2）x^2+ 4kmx +2m^2-2 =0; x1x2 = -4mk/(1+2k^2) x1x2 = 2(m^2-1)/(1+k^2) 向量OP*OQ = x1x2+y1y2 = (1+k^2)x1x2+ km(x1+x2)+m^2 = 0 所以ＯＰ总是与ＯＱ垂直。
    2012-03-31 16:50:46
  • ①当对角线AB长为最小值时，A、B在椭圆短轴顶点上，b=1 AF1=AF2=√2，|OF1|=1，即b=c=1, a=√2 椭圆方程x^2/2+y^2=1 ②一般情况下，OP与OQ不垂直 用反证法证明如下： 不妨假设在OP⊥OQ情况下， 设P(√2cosθ,sinθ)，则Q(-√2sinθ,cosθ) 由两点式得直线PQ方程x(sinθ-cosθ)-√2y(cosθ+sinθ)+√2=0 原点O到直线PQ的距离d=(√2)/(√3-sin2θ) 圆x^2+y^2=2/3的半径是(√2)/(√3) 直线PQ与圆相切的充分必要条件是d=(√2)/(√3)=圆半径， sin2θ=0，θ=0或π/2， 除此外，直线PQ与圆不相切。 即：一般情况OP与OQ不垂直。
    2012-03-31 16:42:20
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