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直线与椭圆相交求弦长的问题!如果直线y=x+b与椭圆x^2+4y

2005-01-25 15:56:35s***
如果直线y=x+b与椭圆x^2+4y^2-4x+8y+4=O相交与MN两点,那么弦MN的最大值??直线与椭圆相交求弦长的问题!如果直线y=x+b与椭圆x^2+4y^2-4x+8y+4=O相交与MN两点,那么弦MN的最大值??：把y=x+b代入x*2+4y^2?

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  •   把y=x+b代入x*2+4y^2-4x+8y+4=0 得到5x^2+4(2b+1)x+4(b+1)^2=0(*) 于是x1+x2=-4/5*(2b+1)(1);x1*x2=4/5*(b+1)^2(2) (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2 =[4/5(2b+1)]^2-4*4/5*(b+1)^2 =16/25*[(2b+1)^2-5(b+1)^2] =16/25*(-b^2-6b-4 =-16/25*(b^2+6b+4) 因为|MN|^2 =(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 =(x1-x2)^2{1+[(y1-y2)/(x1-x2)]^2} =(x1-x2)^2(1+k^2)【k是直线MN:y=x+b的斜率】 =-16/25*(b^2+6b+4)*(1+1) =-32/25*(b^2+6b+4) =-32/25*(b+3)^2+32/5。
       所以弦长|MN|的最大值为(32/5)^。5=4/5*10^。5。此时对应的b的值是-3。
    2005-01-25 17:17:00
  • 消去y，得x^2＋4(x＋b)^2－4x＋8(x＋b)＋4＝O 即　5x^2＋(8b＋4)x＋4b^2＋8b＋4＝0 设M，N点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由韦达定理得：x1＋x2＝－(8b＋4)/5，x1x2＝(4b^2＋8b＋4)/5， 所以　|MN|^2＝(x1－x2)^2＋(y1－y2)^2 　　　　　　＝(x1－x2)^2＋[(x1＋b)－(x2＋b)]^2 　　　　　　＝(1＋1)(x1－x2)^2 　　　　　　＝2[(x1＋x2)^2－4x1x2] 　　　　　　＝2{[(8b＋4)/5]^2－4*(4b^2＋8b＋4)/5} 　　　　　　＝(32/25)*(－b^2－6b－4) 　　　　　　＝(32/25)*[5－(b＋3)^2] 所以当b＝－3时，|MN|^2有最大值32/5， |MN|有最大值为(4/5)√10
    2005-01-25 16:50:10
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