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全微分问题f(x,y)=根号下｜xy｜,问:在点(0,0)处是否

2005-03-06 12:11:02A***
f(x,y)=根号下｜xy｜,问:在点(0,0)处是否连续,偏导数是否存在,是否可微?(请附加证明)全微分问题f(x,y)=根号下｜xy｜,问:在点(0,0)处是否连续,偏导数是否存在,是否可微?(请附加证明)：1、f(x,y)=√|xy|=(xxyy)^(1?

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  • 1、f(x,y)=√|xy|=(xxyy)^(1/4)是初等函数，定义域是整个平面，所以它在整个平面内连续，当然在原点处连续。 2、因为[f(△x,0)-f(0,0)]/(△x)=0,令△x→0极限为0，即f(x,y)在原点处关于x的偏导数存在，且等于0；类似可得，f(x,y)在原点处关于y的偏导数存在，且等于0。 3、如果函数在原点处可微，则dz=0， 且△z-dz=√|△x△y|应该是ρ=√(△x^2+△y^2)的高阶无穷小， 但（√|△x△y|）/ρ当令△y=△x，而△x→0时的极限等于1/√2≠0，所以函数在原点处不可微。
    2005-03-16 22:21:12
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