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求函数最值已知x、y∈R且x^2-xy+2y^2=1，求S=x^

2012-10-29 21:38:349***
已知x、y∈R且x^2-xy+2y^2=1，求S=x^2+2y^2的最值。求函数最值已知x、y∈R且x^2-xy+2y^2=1，求S=x^2+2y^2的最值。：解：设x=mcosα,y=√2msinα/2 则：x²+2y&?

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  • 解：设x=mcosα,y=√2msinα/2 则：x²+2y²=m² 由x²-xy+2y²=1 得：m²-(√2m²sinαcosα/2)=1 即：m²-[√2m²sin（2α）/4]=1 m²=1/[1-(√2sin2α)/4] ∵-1≤sin2α≤1 ∴(8-2√2)/7≤m²≤(8+2√2)/7 即：x²+2y²的最小值=(8-2√2)7； x²+2y²的最大值=(8+2√2)/7。
    2012-10-29 22:10:02
  • S=x^2+2y^2→(x^2+2y^2)/S=1. 代入x^2-xy+2y^2=1，得 (2s-2)y^2-Sxy+(S-1)x^2=0. ①当x=0时，2y^2=1→S=1； ②当x≠0时，有 (2S-2)(y/x)^2-S(y/x)+(S-1)=0，因y/x∈R， 故△=S^2-4(2S-2)(S-1)≥0 解得，(8-2√2)/7≤S≤(8+7√2)/7， ∴S|min=(8-2√2)/7，S|max=(8+2√2)/7。
    2012-10-30 18:57:06
  • 将均值不等式关系式：-(x^2+2y^2)≤(2√2)xy≤x^2+2y^2 代入 x^2-xy+2y^2=1 ===> (x^2+2y^2)[1-1/(2√2)≤1≤(x^2+2y^2)[1+1/(2√2)] ===> [1+1/(2√2)≤x^2+2y^2≤1/[1-1/(2√2)] ===> (8-2√2)/7≤x^2+2y^2≤(8+2√2)/7 根据均值不等式等号成立条件，可知 当x=(2+4√2)/7，y=(4+√2)/7或x=-(2+4√2)/7，y=-(4+√2)/7时，x^2+2y^2有最大值(8+2√2)/7； 当x=(2+4√2)/7，y=-(4+√2)/7或x=-(2+4√2)/7，y=(4+√2)/7时，x^2+2y^2有最小值(8-2√2)/7。
    2012-10-30 12:21:02
  • 因为x^2-xy+2y^2=1，移位得：x^2+2y^2=xy+1.所以S=x^2+2y^2的最值,即求s=xy+1的最值。 又因为已知x、y∈R，s最大值就为正无穷；最小值就是当x、y任何一方或均为0的情况，所以s=xy+1的最小值即为1.
    2012-10-29 21:51:48
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