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高一暑假作业题？若f(x)满足2f(-sinx)+3f(sinx

2006-07-12 21:17:55e***
若f(x)满足2f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx (-π/2≤x≤π/2)。求f(x)。 盼望您的回答！高一暑假作业题？若f(x)满足2f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx(-π/2≤x≤π/2)。求f(x)。盼望您的回答！：当x=-x时,就是2?

最佳回答

  • 当x=-x时,就是2f(sinx)+3f(-sinx)=-4sinxcosx 和式子2f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx,相加得到 5f(-sinx)+5f(sinx)=0 f(-sinx)+f(sinx)=0 f(-sinx)=-f(sinx)是寄函数,代入原式得到 -2f(sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx f(sinx)=4sinxcosx cosx=根号(1-sin^2x) f(x)=4x根号(1-x^2)
    2006-07-12 21:33:09
  • 解：因为sinx是奇函数,所以由2f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx (1) 可得:2f(sinx)+3f(-sinx)=-4sinxcosx (2) (1)+(2)可得5f(sinx)+5f(-sinx)=0,即f(sinx)=f(-sinx),即f(x)为奇函数,所以2f(-sinx)+3f(sinx)=-2f(sinx)+3f(sinx)=f(sinx)=4sinxcosx,因为-π/2≤x≤π/2,所以cosx=(1-sinx的平方)的算术平方根,由f(sinx)=4sinxcosx,我们令t=sinx,可得f(t)=4t(1-t的平方)开算术平方根(-1≤x≤1) 不好意思,我用M athType打的符号不能粘贴到回答问题这里,所以才什用汉字而不是数学符号来回答.
    2006-07-12 21:46:33
  • 2f(-sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx 设t在定义域(-π/2≤x≤π/2)内 将t代入 得：2f(-sint)+3f(sint)=4sintcost 将-t代入 得：2f(sint)+3f(-sint)=-4sintcost 两式相加得 5f(sint)+5f(-sint)=0 即 -f(sint)=f(-sint) 将 -f(sint)=f(-sint) 代入2f(-sint)+3f(sint)=4sintcost 得到： f(sint)=4sintcost 即 f(x)=4x·√(1-x^2) (-π/2≤x≤π/2)
    2006-07-12 21:31:07
  • 先换元 另u=sinx 于是有： 2f(-u)+3f(u)=4u sqrt(1-u^2) 值得注意的是，我开方只取了正号是因为在-π/2≤x≤π/2中，cosx>=0 不妨用-u替代u,于是得到 2f(u)+3f(-u)=-4u sqrt(1-u^2) 两式联立，得到f是奇函数。 所以2f(-sinx)+3f(sinx)=f(sinx)=4sinxcosx f(x)=4x sqrt(1-x^2)
    2006-07-12 21:28:21
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