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函数的问题将函数f(x)=1/x^2+x-6展开成x的幂级数，并

2008-01-15 22:23:00清***
将函数f(x)=1/x^2+x-6展开成x的幂级数，并写出收敛区间函数的问题将函数f(x)=1/x^2+x-6展开成x的幂级数，并写出收敛区间：解：f(x)=1/x^2+x-6=1/(x+3)(x-2)=(1/5)[1/(x-?

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  • 解：f(x)=1/x^2+x-6=1/(x+3)(x-2)=(1/5)[1/(x-2)-1/(x+3)] =(1/5){(-1/2)/[1-(x/2)]-(1/3)/[1-(-x/3)]} =(1/5)[(-1/2)∑(x/2)^n-(1/3)∑(-x/3)^n] =(1/5)[(-1/2)(1/2)^n-(1/3)(-1/3)^n]∑(x^n) =(1/5)[-(1/2)^(n+1)+(-1/3)^(n+1)]∑(x^n) -1＜x/2＜1，-1＜-x/3＜1，即-2＜x＜2 故收敛区间为(-2,2)。
    2008-01-15 23:10:05
  •   解：下面把f(x)=1/(x^2+x-6)在x=0处展成马克劳林级数。 f(x)=1/(x^2+x-6)=1/(x-2)(x+3)=(1/5){[1/(x-2)]-[1/(x+3)]} 故有5f(x)=[1/(x-2)]-[1/(x+3)]。
       5f'(x)=[-1/(x-2)^2]-[-1/(x+3)^2]。 5f"(x)=[2/(x-2)^3]-[2/(x+3)^3]。 5f'''(x)=[-2*3/(x-2)^4]-[-2*3/(x+3)^4] 5f^(4)(x)=[2*3*4/(x-2)^5]-[2*3*4/(x+3)^5] …… 5f^(n)(x)={[(-1)^n]n!/(x-2)^(n+1)}-{[(-1)^n]n!/(x+3)^(n+1)} =[(-1)^n]n!{[1/(x-2)^(n+1)]-[1/(x+3)^(n+1)]} 用x=0代入得 f(0)=(1/5)(-5/6)=-1/6; f'(0)=(1/5)(-1/4+1/9)=-（1!)/6^2 ; f''(0)=(1/5)[-(2/8)-(2/27)]=-(2!)*7/6^3。
       f'''(0)=(1/5)[-(2*3/16)+(2*3/81)]=-(3!)*13/6^4。 f^(4)(0)=(1/5)(4!)[(-1/2^5)-(1/3^5)]=-(4!)*55/6^5 …… f^(n)(0)=-(n!)(1/5)[1/(-2)^(n+1)-1/3^(n+1)] =-(n!)(1/5)[3^(n+1)-(-2)^(n+1)]/6^(n+1) 级数 -1/6-x/6^2-7x^2/6^3-13x^3/6^4-55x^4/6^5-…-[3^(n+1) -(-2)^(n+1)]x^n/[5*6^(n+1)] n→∞lim︱[3^(n+1)-(-2)^(n+1)]/[5*6(n+1)]︱/︱[3^n-(-2)^n]/[5*6^n]=n→∞lim(1/6)[3*3^n+2*(-2)^n]/[3^n-(-2)^n] =n→∞lim(1/6)[3+2(-2/3)^n]/[1-(-2/3)^n]=1/2。
       故收敛半径R=2。 可以证明余项Rn(x)→0,当n→∞时,但书写太困难了！故不写了！ 最后得幂级数 1/(x^2+x-6)= =-{1/6+x/6^2+7x^2/6^3+。。。+[3^(n+1)-(-2)^(n+1)]x^n/[5*6^(n+1)]}。
      
    2008-01-17 20:16:05
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