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求z+z分之一属于R且-z-2-=2的复数z

2009-08-08 11:26:04k***
求z+z分之一属于R且|z-2|=2的复数z:老题型,97年我读高二时就有这种题,我就用我数学老师得过高中教师数学论文奖的解法给你解答。 解:依题意得 z+?

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  • 老题型,97年我读高二时就有这种题,我就用我数学老师得过高中教师数学论文奖的解法给你解答。 解:依题意得 z+1/z=Z+1/Z(大写表示共轭) 即z-Z+1/z-1/Z=0,整理得 (z-Z)[1-1/(zZ)]=0 (z-Z)(|z|²-1)=0(zZ=|z|²) 解得z=Z或|z|=1 若z=Z,则z为实数,由|z-2|=2得z=4,z0=0(不能做分母,舍去) 若|z|=1,设z=cosθ+isinθ,代入|z-2|=2,得 (cosθ-2)²+sin²θ=4,整理得 cos²θ-4cosθ+4+sin²θ=4,解得cosθ=1/4,则sinθ=±√15/4 即z=(1±i√15)/4 故z可取4或(1±i√15)/4。
    2009-08-08 13:16:25
  • 设z的模为r(>0),辐角为θ,则1/z的模为1/r,辐角为-θ(≠0,π),z=r*(cosθ+isinθ),1/z=(1/r)*(cosθ-isinθ),z+1/z=(r+1/r)*cosθ+i(r-1/r)*sinθ,因为z+1/z∈R,所以(r-1/r)*sinθ=0,则sinθ=0或r-1/r= nθ=0,则z为实数,由|z-2|=2得z=4或0,但z=0不符合题意,只能有z=4.2.r-1/r=0,即r=1,z=cosθ+isinθ.|z-2|=2,|(cosθ-2)+isinθ|=2.(2-cosθ)^2+(sinθ)^2=4,4-4cosθ+(cosθ)^2+(sinθ)^2=4,cosθ=1/4,sinθ=±√15/4,z=(1±i√15)/4.[结论]z=4或(1±i√15)/4.
    2009-08-08 13:44:32
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