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求下列函数的值域(1)y=x3/(x2-1)(其中，x>1

2012-09-11 18:55:32s***
(1)y=x3/(x2-1) (其中，x>1)； (2)y=√[x(3x2-4x+6)(8-3x)]/(2x+3) (其中，0≤x≤8/3)； (3)y=(√3x+1)/√(x2+1) (其中，x∈R)。求下列函数的值域(1)y=x3/(x2-1)(其中，x1)；(2)y=√[x(3x2-4x+6)(8-3x)]/(2x+3)(其中，0≤x≤8/3)；(?

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  •   用高数做当然更易，用初等数学做也不太难，只是需要一些技巧： (1) 依均值不等式，得 y=x3/(x2-1) =√[(x2-1)/2+(x2-1)/2+1]3/(x2-1) ≥(3√3/2)·(x2-1)/(x2-1) =3√3/2。
       故y∈[3√3/2，+∞)。 (2) 显然，y≥0，等号成立时当且仅当x=0； 又，0≤x≤8/3，即8x-3x2≥0， 且3x2-4x+6=3(x-2/3)2+14/3>0， 故依均值不等式得， y=√[(8x-3x2)(3x2-4x+6)]/(2x+3) ≤[(4x+6)/2]/(2x+3) =1， 当且仅当8x-3x2=3x2-4x+6， 即x=1时等号成立。
       ∴y∈[0，1]。 (3) 构造三角式。 设x=tanθ，代入原式整理得 y=2sin(θ+π/6)。 ∵-π/3<θ+π/6<2π/3 →-√3/2  
    2012-09-11 21:20:54
  • （1） y'=[3x^2(x^2-1)-2x^4]/(x^2-1)^2 =x^2(x+√3）（x-√3）/（x^2-1)^2, y|min=y(√3）=3√3/2， y的值域是[3√3/2，+∞). (2) 设x=t-3/2,则3/2<=t<=25/6, y^2=(t-3/2)[3(t-3/2)^2-4(t-3/2)+6](25/2-3t)/(4t^2) =(-3t^2+17t-75/4)(3t^2-13t+75/4)/(4t^2) =[30t(3t^2+75/4)-221t^2-(3t^2+75/4)^2]/(4t^2), 仍需用导数，分子达5次，难! (3)y=(√3x+1)/√(x^2+1) (其中，x∈R)。 设x=tana,-π/22012-09-11 20:52:39
  •   解： (1)x＞1, y=x³/(x²-1)=x+x/(x²-1)=x+x/(x-1)(x+1) 函数有渐近线x=-1, 1 当x趋近于1的右侧时,y→+∞。
       y'=x²(x²-3)/(x²-1)² 得到驻点x=±√3, x＞√3 时函数单调递增 √3＞x＞0 时函数单调递减 即当x=√3时函数有最小值, ymin=3√3/2 ∴y∈[3√3/2, ∞) (2) y=√[x(3x²-4x+6)(8-3x)]/(2x+3), 0≤x≤8/3 其中x(3x²-4x+6)恒大于0, 8-3x≥0 所以函数有最小值0 y'=-18(x+4)(x-1)³/{√[x(3x²-4x+6)(8-3x)](2x+3)²} 有驻点x=-4, 1, 舍去负值 当x＞1时y'＜0, 函数单调递减 所以当x=1函数y有最大值ymax=1 ∴y∈[0,1] (3)y=(√3x+1)/√(x²+1), x≥0 设x=tanθ＞0, θ∈(-π/2,π/2) 则y=(√3·tanθ+1)cosθ=√3·sinθ+cosθ=2sin(θ+π/6) θ+π/6∈(-π/3,2π/3) 2sin(θ+π/6)∈(-√3,2] 显然值域为(-√3,2]。
    2012-09-11 20:22:55
  • （1）：,1到正无穷1为开区间
    2012-09-11 19:58:07
  • (1)定义域为：x≠ ±1，值域为全体实数 （2）[0,1] 这些需要导数的知识，如果没有学过，就不要做了
    2012-09-11 19:42:49
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