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Sn=1/2(an+1/an),求{an}的通项公式Sn=1/2

2008-02-03 19:34:13往***
Sn=1/2(an +1/an ),求｛an｝的通项公式Sn=1/2(an+1/an),求{an}的通项公式Sn=1/2(an+1/an),求｛an｝的通项公式：我有一个高考题与此题极相似，供你参考： 已知数列{A?

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  •   我有一个高考题与此题极相似，供你参考： 已知数列{An}各项都为正数，它的前n项和Sn满足Sn=(1/2)(An +1/An ),(1) 写出数列的前4项; (2) 猜想{An}的通项公式并予以证明。(11分) (1) 解:A1=S1=A1+1/A1, A1>0, ∴ A1=1=√1-√0,2(A2)=A2+/A2===>(A2)^+2A2-1=0, A2>0, ∴ A2=√2-√1, 类似得A3=√3-√2,A4=√4-√3。
       (2) 猜想An=√n-√(n-1)。 证明: ① n=1时,A1=1, 已证成立。 ② 假设n=k时,Ak=√k-√(k-1), ∴ Ak+1/Ak==2√k。那么当n=k+1时, A(k+1)=S(k+1)-Sk=(1/2)[A(k+1)+1/A(k+1)-(1/2)(Ak+1/Ak)=(1/2)[A(k+1)+1/A(k+1)-(1/2)√k------->[A(k+1)]^-2√kA(k+1)-1=0,又 A(k+1)>0, ∴ A(k+1)=√(k+1)-√k,即n=k+1时,猜想成立。
       有①,②知,对一切n∈N+, An=√n-√(n-1)。
    2008-02-03 23:24:08
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