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已知实系数二次函数f(x)=ax2+bx+c,对任何-1≤x≤1?

2011-06-08 16:48:27你***
已知实系数二次函数f(x)=ax2 +bx+c,对任何-1≤x≤1,都有︱f(x)︱≤1,求︱a︱已知实系数二次函数f(x)=ax2　　+bx+c,对任何-1≤x≤1,都有︱f(x)︱≤1,求︱a︱+︱b︱+︱c︱的最大值已知实系数二次函数f(x)=ax2+bx+c,对任何-1≤x≤1,都有︱f(x)︱≤1,求︱a︱已知实系数二次函数f(x)=ax2　　+bx+c,对任何-1≤x?

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  •   解: 由已知易得 {f(1)=a+b+c, {f(1/2)=1/4*a+1/2*b+c, {f(0)=c 由上述方程组得: {a=2f(1)+2f(0)-4f(1/2), {b=4f(1/2)-f(1)-3f(0), {c=f(0)。
       考虑到|f(1)|≤1、|f(1/2)|≤1、|f(0)|≤1, ∴|a|=|2f(1)+2f(0)-4f(1/2)| ≤2|f(1)|+2|f(0)|+4|f(1/2)| ≤8, |b|=|4f(1/2)-f(1)-3f(0)| ≤4|f(1/2)|+|f(1)|+3|f(0)| ≤8, |c|=|f(0)| ≤1。
       ∴|a|+|b|+|c|≤8+8+1=17。 对于二次函数f(x)=8x^2-8x+1, 当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1, 且|a|+|b|+|c|≤17, ∴|a|+|b|+|c|的最大值为17。
    2011-06-08 19:18:20
  • f(0)=c, f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c, 三者都属于[-1,1], 设w=|a|+|b|+|c|,不妨设a>0, 1)b,c>=0时，w=a+b+c=f(1)=0>c时，w=a+b-c=f(1)-2f(0)=0>b时，w=a-b+c=f(-1)<=1. 当a=2,b=0,c=-1时f(x)=2x^2-1满足题设，w=3. ∴所求最大值为3.
    2011-06-08 19:03:58
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