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y=(cosa-1)/(sina-2),求值域

2019-03-14 15:32:01R***
y=(cosa-1)/(sina-2),求值域y=(cosa-1)/(sina-2),求值域,y=(cosa-1)/(sina-2),求值域y=(cosα-1)/(

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  •   y=(1-2(sin(a/2))^2-1)/(2sin(a/2)cos(a/2)-2(sin(a/2)^2-2(cos(a/2))^2) =(-sin(a/2))^2/(sin(a/2)cos(a/2)-(sin(a/2)^2-(cos(a/2))^2) =(-tan(a/2)^2/(tan(a/2)-(tan(a/2))^2-1) 设x=tan(a/2)，则： y=x^2/(x^2-x+1) =1+(x-1)/(x^2-x+1) y'=(x^2-x+1-(x-1)(2x-1))/(x^2-x+1)^2=x(-x+2)/(x^2-x+1)^2 y'=0时，x=0或x=2 则y(0)=0，y(2)=4/3 y=1+(1/x-1/x^2)/(1-1/x+1/x^2) 而x->-∞时，y->1+(0-0)/(1-0+0)=1 x->+∞时，y->1+(0-0)(1-0+0)=1 故y的值域为：[0,1)，(1,4/3] 。
      
    2019-03-14 15:42:46
  • 这类题目一般可用数形结合法，也可用以下方法： 方法一： y=(cosα-1)/(sinα-2) →ysinα+(-1)cosα=2y-1. 构造向量m=(y，-1)，n=(sinα，cosα)，则 |m|·|n|≥|m·n|^2 →[y^2+(-1)^2][(sinα)^2+(cosα)^2]≥[ysinα+(-1)cosα]^2 →y^2+1≥(2y-1)^2 →y(3y-4)≤0 →0≤y≤4/3. 故所求值域为[0，4/3]。 方法二： 设tan(α/2)=t，则 sinα=2t/(1+t^2)，cosα=(1-t^2)/(1+t^2)， 代入原式整理，得 (y-1)t^2-yt+y=0，判别式不小于0， ∴(-y)^2-4y(y-1)≥0 →y(3y-4)≤0 →0≤y≤4/3， 故函数值域为[0，4/3]。 还有很多方法就不一一列出了。
    2019-03-14 16:14:30
  • y=(cosα-1)/(sinα-2) 可以看做动点P(sinα,cosα)与定点A(2,1)之间连线的斜率K 即，K=y=(cosα-1)/(sinα-2) 而动点P(sinα,cosα)的轨迹为单位圆x^2+y^2=1【如图】 设过定点A(2,1)的直线为y-1=k(x-2)，即：kx-y+(1-2k)=0 当直线与单位圆相切时，斜率K取得极值 而，当直线与单位圆相切时，圆心O(0,0)到直线的距离d等于半径1 所以，d=|0-0+(1-2k)|/√(k^2+1)=r=1 ===> |1-2k|=√(k^2+1) ===> (1-2k)^2=k^2+1 ===> 1-4k+4k^2=k^2+1 ===> 3k^2-4k=0 ===> k*(3k-4)=0 ===> k1=0，k2=4/3 所以，y=K=(cosα-1)/(sinα-2)∈[0,4/3].
    2019-03-14 15:34:09
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