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在锐角三角形ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，Ｃ是它的三个内角S=1/(1+ta

2008-02-21 00:31:21l***
S=1/(1+tanA)+1/(1+tanB 求证： （１）Ｓ＜１ （２）S<A/(1+tanA)+tanB/(1+tanB) 谢了在锐角三角形ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，Ｃ是它的三个内角S=1/(1+tanA)+1/(1+tanB求证：（１）Ｓ＜１（２）SA/(1+tanA)+tanB/(1?

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  •   证明： ∵锐角三角形ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，Ｃ是它的三个内角 ∴A+B=180°-C 而C＜90° ∴A+B＞180°-90°=90° A+B＜180° ∴-1＜cos（A+B）＜0 0°＜A-B＜90° cos(A+B)＜0 cosAcosB-sinAsinB＜0 2cosABAcosB＜cos(A-B) 2cosAcosB+sin(A+B)＜cos(A-B)+sin(A+B) [2cosAcosB+sin(A+B)]/[cos(A-B)+sin(A+B)]＜1 S=1/(1+tanA)+1/(1+tanB) =cosA/(cosA+sinA)+cosB/(cosB+sinB) =[cosAcosB+cosAsinB+cosAcosB+cosAsinB]/[cosAcosB+cosAsinB+ sinAcosB+sinAsinB] =[2cosAcosB+sin(A+B)]/[cos(A-B)+sin(A+B)]＜1 ∵cos(A-B)＞0 ∴cosAcosB+sinAsinB＞0 2cosABAcosB＞cos(A+B) 2cosAcosB+sin(A+B)＞cos(A+B)+sin(A+B) [2cosAcosB+sin(A+B)]/[cos(A+B)+sin(A+B)]＞1 tanA/(1+tanA)+tanB/(1+tanB) =sinA/(cosA+sinA)+sinB/(cosB+sinB) =[sinAcosB+sinAsinB+cosAsinB+sinAsinB]/[cosAcosB+cosAsinB+ sinAcosB+sinAsinB] =[2sinAsinB+sin(A+B)]/[cos(A-B)+sin(A+B)]＞1＞S 。
      
    2008-02-22 08:22:23
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