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三角证明已知α、β∈(0，π/2)，(sinα)^4/(cosβ

2013-02-06 13:59:27s***
已知α、β∈(0，π/2)，(sinα)^4/(cosβ)^2+(cosβ)^4/(sinβ)^2=1，求证:α+β=π/2。三角证明已知α、β∈(0，π/2)，(sinα)^4/(cosβ)^2+(cosβ)^4/(sinβ)^2=1，求证:α+β=π/2。：条件式应为“(sinα)?

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  • 条件式应为“(sinα)^4/(cosβ)^2+(cosα)^4/(sinβ)^2=1”吧? 若是，则: 依Cauchy不等式，得 1=(sinα)^4/(cosβ)^2+(cosα)^4/(sinβ)^2 =[(cosβ)^2+(sinβ)^2][(sinα)^4/(cosβ)^2+(cosα)^4/(sinβ)^2] ≥[(sinα)^2+(cosα)^2]^2 =1， ∴(sinα)^2/cosβ=(cosα)^2/sinβ →tanα=cotβ=tan(π/2-β) →α=π/2-β， ∴α+β=π/2。
    2013-02-06 15:14:15
  • 两边同乘以sin^2bcos^2b得 sin^4asin^2b+cos^4acos^2b=sin^2bcos^2b 将sin^4a=(1-cos^2a)^2代入上式 化简得 （1-2cos^2a+cos^4a）sin^2b+cos^4a(1-sin^2b)=sin^2bcos^2b sin^2b-2cos^2asin^2b+cos^4a=sin^2bcos^2bsin^2b (1-cos^2b)-2cos^2asin^2b+cos^4a=0 sin^4b-2cos^2asin^2b+cos^4a=0 (sin^2b-cos^2a)^2=0 (cosa+sinb)(cosa-sinb)=0 因为a,b属于（0，π/2） 所以cosa+sinb不等于0 所以cosa=sinb 所以a+b=π/2
    2013-02-06 15:33:26
  • 两边同乘以sinb^2cosb^2 得到sina^4sinb^2+cosa^4cosb^2=sinb^2cosb^2 将sina^4=(1-cosa^2)^2代入上式化简得 （1-2cosa^2+cosa^4）sinb^2+cosa^4(1-sinb^2)=sinb^2cosb^2 sinb^2-2cosa^2sinb^2+cosa^4=sinb^2cosb^2 sinb^2(1-cosb^2)-2cosb^2sinb^2+cosa^4=0 sinb^4-2cosa^2sinb^2+cos^4a=0 (sinb^2-cosa^2)^2=0(cosa+sinb)(cosa-sinb)=0 因为a,b属于（0，π/2） 所以cosa+sinb不等于0 所以cosa=sinb 所以a+b=π/2
    2013-02-06 15:13:46
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