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圆锥曲线已知AB是抛物线y2=4x的焦点弦，且A(x1,y1），

2013-02-17 11:30:14圆***
已知AB是抛物线y2=4x的焦点弦，且A(x1,y1），B(x2,y2),点F是抛物线的焦点，过A,B向抛物线的准线L作垂线，垂足分别为A1，B1，直线A1，B1，与x轴交于点K。求证（1）|A1K|，|KF|,|B1K|成等比数列（2）1/|AF| ,1/|KF|,1/|BF|成等差数列圆锥曲线已知AB是抛物线y2=4x的焦点弦，且A(x1,y1），B(x2,y2),点F是抛物线的焦点，过A,B向抛物线的准线L作垂线，垂足分别为A1，B1，直线?

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  •   抛物线y^2=4x①的焦点为F(1，0),准线L:x=-1。K(-1,0)。 设AB:x=my+1,②代入①得 y^-4my-4=0, 则y1+y2=4m,y1y2=-4, （1）|A1K|=|y1|,|KF|=2,|B1K|=|y2|, ∴|A1K|*|B1K|=|y1y2|=4=|KF|^, ∴|A1K|，|KF|,|B1K|成等比数列。
       （2）|AF|=x1+1,|BF|=x2+1, 由②，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m^+2, x1x2=(my1+1)(my2+1)=m^y1y2+m(y1+y2)+1=1, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=4m^+4, ∴1/|AF|+1/|BF| =(x1+x2+2)/[(x1+1)(x2+1)] =(4m^+4)/(4m^+4) =1=2/|KF|, ∴1/|AF| ,1/|KF|,1/|BF|成等差数列。
      
    2013-02-17 14:14:30
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