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a与b的和是非负数-整数与余数设a，b是正整数，n是非负整数，试证若a^n/b,则a

2006-07-09 16:29:11越***
设a，b是正整数，n是非负整数，试证若a^n/b,则a^(n+1)/[(a+1)^b-1]【a与b的和是非负数】整数与余数设a，b是正整数，n是非负整数，试证若a^n/b,则a^(n+1)/[(a+1)^b-1]："试证若a^n|b,则a^(n+1)|[(a+1)^b-1?

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  •   "试证若a^n|b,则a^(n+1)|[(a+1)^b-1] " 记号：p为质数，m=p^s*u，（p，u）=1， 则记pot[p]（m）=s。 C（n，k）为n个数中选k个的选法数。 命题：m|n《==》所有质数p，有pot[p]（m）≤pot[p]（n）。
       定理：pot[p]（C（p^s，k））=s-pot[p]（k）。 1。b=ka^n,(a+1)^b-1 =[(a+1)^(a^n)-1]*K K为整数，只需证明a^(n+1)|[(a+1)^(a^n)-1]。 2。设pot[p]（a）=s≥1，a=p^s*u，（p，u）=1， ==》(a+1)^(a^n)-1= =（a+1)^[(p^s*u）^n]-1= ={（a+1)^[(p^s）^n]-1}*K={（a+1)^[p^（ns）]-1}*K K为整数，只需证明(p^s)^(n+1)|（a+1）^[p^（ns)]-1 由命题得只需证明： pot[p]（(p^s)^(n+1)）=s(n+1)≤ ≤pot[p]（（a+1）^[p^（ns)]-1）。
       3。（a+1）^[p^（ns)]-1= （p^s*u+1）^[p^（ns)]-1= =p^（ns)*p^s*u+C（p^（ns），2）[p^s*u]^2+。。+ +[p^s*u]^[p^（ns)]。 当t≥1时，使用定理得。 pot[p]（C（p^（ns），t）[p^s*u]^t）= =st+pot[p]（C（p^（ns），t））= =st+ns-pot[p]（t） 设pot[p]（t）=b，则t=a*p^b， ==》st+ns-pot[p]（t）= =s*a*p^b+ns-b≥s*a*（b+1）+ns-b= =s（a+n）+b（s*a-1）≥s（1+n） ==》 s(n+1)≤ ≤pot[p]（（a+1）^[p^（ns)]-1）。
       命题得证。 。
    2006-07-10 08:40:09
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