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设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭?

2009-11-19 00:19:01小***
设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A.B两点,点P是弦A,B的中点求P的轨迹方程？设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A.B两点,点P是弦A,B的中点求P的轨迹方程？：设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(?

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  •   设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A。B两点,点P是弦A,B的中点。 解 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 设过点m(0,1)的直线l的方程是：y=kx+1(k是参数), 代入椭圆方程：x^2+y^2/4=1， 得关于x的二次方程：x^2+（kx+1)^2/4=1， 即 (k^2+4)x^2+2kx-3=0, 由韦达定理得 x1+x2=-2k/(k^2+4) (1) 由直线l的方程得 y1=kx1+1, y2=kx2+1, 再由(1)得 y1+y2=k(x1+x2)+2=-2k^2/(k^2+4)+2, （2） 于是 x=(x1+x2)/2=-k/(k^2+4)， y=(y1+y2)/2=-k^2/(k^2+4)+1 所以,动点P的轨迹的参数方程为： x=-k/(k^2+4)， (3) y=-k^2/(k^2+4)+1。
       (4) 注：消参过程如下:由(3),(4)得 k=(y-1)/x, (5) (5)代入(3),得 x=-[(y-1)/x]/{[(y-1)/x]^2+4} 化简得 16x^2+4(y-1/2)^2=1。 (6) (6)即为动点P的轨迹的直角坐标方程。
       。
    2009-11-19 01:37:29
  • 设弦中点P(x,y),且A为(p,q),B为(r,s). 则弦AB斜率为k=(q-s)/(p-r)=(y-1)/(x-0) --(1); 且由中点公式得 p+r=2x,--(2) q+s=2y。--(3) 分别以A、B代入椭圆得两式,并将那两式相减相减 则 p^2-r^2+(q^2-s^2)/4=0 即 (p+r)+(1/4)*(q+s)*[(q+s)/(p-r)]=0, 以(1),(2),(3)代入上式得 2x+（1/4）*（2y）*[(y-1)/(x-0)]=0 整理得 x^2/(1/4)^2+(y-1/2)^2/(1/2)^2=1 故弦AB中点P轨迹为一中心在(0,1/2),长半轴为1/2,短半轴为1/4的椭圆方程．
    2009-11-19 05:37:37
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