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已知函数f(x)=ax+b/x的平方+1是定义在（-1，1）上的?

2012-10-20 19:42:53x***
已知函数f(x)=ax+b/x的平方+1 是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2) =2/5． （1）求函数f（x）的解析式； （2）用函数单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数； （3）解不等式f（t-1）+f（t）＜f(0)． 已知函数f(x)=ax+b/x的平方+1是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明f（x?

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  •   解： (1)显然有f(0)=0, 即b=0 又f(1/2)=2/5, 即f(1/2)=2/5, ∴a=1 故f(x)=x/(x²+1) (2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2, x2-x1＞0 则 `f(x1)-f(x2) =x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1) =[x1(x2²+1)-x2(x1²+1)]/[(x1²+1)(x2²+1)] =[x1x2(x2-x1)+(x1-x2)]/[(x1²+1)(x2²+1)] =[(x2-x1)(x1x2+1)]/[(x1²+1)(x2²+1)] ∵x1x2∈(-1,1), x1x2+1＞0, x2-x1＞0, (x1²+1)(x2²+1)＞0 故f(x1)-f(x2)＞0 即f(x)单调递增。
       (3)原不等式等价于 f(t-1)+f(t)＜0 即f(t-1)＜-f(t) 由奇函数性质f(-x)=-f(x), 得 f(t-1)＜f(-t) 由于f(x)单调递增, 所以只需解以下不等式组 {-1＜t-1＜1 ==> 0＜t＜2 {-1＜-t＜1 ==> -1＜t＜1 {t-1＜-t ==> t＜1/2 取交集, 得t∈(0,1/2)。
       。
    2012-10-20 20:46:03
  • 楼上的不错 就是要考率定义域
    2012-10-26 15:45:08
  • 同意上楼解答。其实这类题目的“母题”是一个奇函数，f(g(x))+f(h(x))>0，利用f(x）的单调性和奇偶性，可得g(x)+h(x)>0(是f(X)单增时的情形)。别忘了考虑定义域。
    2012-10-21 11:23:46
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