百科知识

教育/科学

急！-一道高中数学题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

2007-01-02 14:48:36草***
已知椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0) 与坐标轴的正半轴交于A,B两点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求出最大值。【急！】一道高中数学题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)与坐标轴的正半轴交于A,B两点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形?

最佳回答

  • 已知椭圆x^/a^ + y^/b^ = 1 (a>b>0) 与坐标轴的正半轴交于A,B两点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求出最大值。 AB方程：x/a+y/b=0 设P(acost,bsint),t为锐角--->Q(acost,b-bcost) 四边形OAPB的面积S==S(OAB)+S(APQ)+S(BPQ) =(1/2)[|OA||OB|+|PQ||OA|] =(1/2)|OA|[|OB|+|PQ|] =(a/2)[b+bsint-(b-bcost)] =(ab/2)[sint+cost] =(√2/2)absin(t+45度)≤(√2/2)ab --->t=45度,即：P(√2a/2,√2b/2)时，四边形OAPB的面积最大值=(√2/2)ab
    2007-01-02 15:20:02
  • |OA|=a，|OB|=b，S△AOB=ab/2， ∵ 四边形OAPB的面积=S△AOB+S△PAB，∴要使四边形OAPB的面积最大,只需S△PAB最大。 设P(acosθ,bsinθ),AB的方程bx+ay-ab=0,点P到AB的距离d=|abcosθ+absinθ-ab|/√(a^+b^)=√2ab[sin(θ+π/4)+1]/√(a^+b^),∵0<θ<π/2,π/4<θ+π/4<3π/4,∴当θ=π/4时,d(max)=2√2ab/√(a^+b^),∴S△PAB(max)=(1/2)|AB|×d(max)=(1/2)×√(a^+b^)×2√2ab/√(a^+b^)=√2ab,此时P(acos(π/4),bsin(π/4))=(√2/2a,√2b/2), ∴ 当P点坐标为(√2/2a,√2b/2)时,四边形OAPB的面积最大， 最大值为(1/2+√2)ab
    2007-01-02 15:58:06
    • 很赞哦！ (28)

    相关文章