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不等式问题已知n∈N,且n≥2求证n^2*1/(n+1)^3

2008-11-19 13:44:09w***
已知n∈N, 且n≥2。求证 n^2*[1/(n+1)^3+1/(n+2)^3+…+1/(n+n)^3]≥91/432. 不等式问题已知n∈N,且n≥2。求证n^2*[1/(n+1)^3+1/(n+2)^3+…+1/(n+n)^3]≥91/432.：已知n∈N, 且n≥2。求证 ?

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  • 已知n∈N, 且n≥2。求证 n^2*[1/(n+1)^3+1/(n+2)^3+…+1/(n+n)^3]≥91/432. 简证 当n=2时,4[1/(2+1)^3+1/(2+2)^3]=91/432 当n=3时,9[1/(3+1)^3+1/(3+2)^3+1/(3+3)^3]>91/432 当n>=4时,由柯西不等式得: [(n+1)^3+(n+2)^3+…+1/(n+n)^3]*[1/(n+1)^3+1/(n+2)^3+…+1/(n+n)^3≥n^2 而(n+1)^3+(n+2)^3+…+1/(n+n)^3=n^2*(5n+3)*(3n+1)/4 故n^2*[1/(n+1)^3+1/(n+2)^3+…+1/(n+n)^3]>4n^2/[(5n+3)*(3n+1)] =4/[(5+3/n)*(3+1/n)]>64/(23*13)>91/432. 综上命题得证。
    2008-11-22 22:18:15
  • 不等式左边=(1/n){1/[1+(1/n)]^3+1/[1+(2/n)]^3+1/[1+(3/n)]^3+……+1/[1+(n/n)]^3}， 就是函数f(x)=1/(1+x)^3的图像与直线x=1,x=0,y=0围成图形面积的分割逼近式！ 而且取的小矩形的高度为每个小区间的右端点的函数值，由f(x)在[0,1]单调递减，所以这个逼近式随n的增大而增大，即不等式左边单调递增！n≥2,所以n=2时取最小值 91/432 实际上还可求出左边的上界3/8
    2008-11-19 16:38:41
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