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边长为a的正三角形ABC的中心为O，过O作直线交AB、AC于M、?

2005-04-07 19:32:15飞***
边长为a的正三角形ABC的中心为O，过O 作直线交AB、AC于M、N，求1/OM与1/ON的平方和的最大值和最小值边长为a的正三角形ABC的中心为O，过O作直线交AB、AC于M、N，求1/OM与1/ON的平方和的最大值和最小值：做AB、AC边上的高BD、CE，设角MOF =?

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  • 做AB、AC边上的高BD、CE，设角MOF = X,(0度 <= X <= 30度) OD = OF = A = a*genhao(3)/6, 在直角三角形OMF中: cosX = OF/OM 在直角三角形OND中: cos(60-X) = OD/ON 因此: 1/OM^2 + 1/ON^2 = {(cosX)^2 + [cos(60-X)]^2}/A^2 = [2 + sin(30+2X)]/A^2 因此: 5/(2A^2) <= 1/OM^2 + 1/ON^2 <= 3/A^2 即: 30/a^2 <= 1/OM^2 + 1/ON^2 <= 90/a^2
    2005-04-07 19:35:03
  •   设角M’MO=x，角N’NO=y，则有x+60度=y，30度≤x≤60度。 由正弦定理得 b^2[(1/OM）^2+（1/ON）^2]=（OM’/OM）^2+（ON’/ON）^2 =[Sinx/sin(120度)]^2+[Sin(x+60度)/sin(60度)]^2 =4/3[(Sinx)^2+Sin(x+60度)^2] =4/3[3/4+(1/2)(Sinx)^2+Sin(60度)SinxCosx] =4/3[3/4+(Sinx)Sin(x+60度)]=4/3[3/4+(Sinx)Sin(x+60度)] =1+(2/3)[Cos(60度)-Cos(60度+2x)]=4/3-(2/3)Cos(60度+2x) x=60度时，b^2[(1/OM)^2+（1/ON）^2]取最大值=2， x+30度时，b^2[(1/OM)^2+（1/ON）^2]取最小值=5/3。
       x=60度时，[(1/OM)^2+（1/ON）^2]取最大值=2/b^2， x+30度时，[(1/OM)^2+（1/ON）^2]取最小值=5/(3b^2)。
    2005-04-08 15:11:14
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