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高中数学几何,拜托了~~~圆O的半径为定长r,A是圆O外的一个定

2007-12-23 11:45:10h***
圆O的半径为定长r,A是圆O外的一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线L和直线OP相交于Q点,当P在圆上运动时,Q的轨迹是什么?为什么?高中数学几何,拜托了~~~圆O的半径为定长r,A是圆O外的一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线L和直线OP相交于Q点,当P在圆上运动时,Q的轨迹是什?

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  •   解：以圆心O作坐标原点,以过OA的直线作X轴建立坐标系。在此坐标系中 设圆O的方程为x=rcost,y=rsint。定点A的坐标为(a,0),且a>r>0。过A作圆的两条切线,切点为P1(rcost0,rsint0)和P2 (rcost0,-rsint0),(t0为正的锐角,t0=arccos(r/a))。
      当动点P在劣弧P1P2上时,PQ=OQ-r=AQ;当动点P在优弧P1P2上时,PQ=OQ+r。设点P的坐标为(m,n),Q点的坐标为(x,y)。于是有 √(x²+y²)±r=√[(x-a)²+y²] 两边平方之,并化简整理得 ±2r√(x²+y²)=(a²-r²)-2ax。
       再平方之,得 4(r²)(x²+y²)=(a²-r²)²-4a(a²-r²)x+4a²x² 即4r²y²=(a²-r²)²-4a(a²-r²)x+4(a²-r²)x² 即y²=[(a/r)²-1]x²-a[(a/r)²-1]x+(1/4)[(a/r)²-1]² 令(a/r)²-1=b,则方程可简化为 y²=bx²-abx+(1/4)b²,经配方整理得 y²=b(x-a/2)²+b(b-a²)/4,或写成 4(x-a/2)²/(a²-b)-4y²/b(a²-b)=1 显然这是双曲线方程。
      双曲线的中心在(a/2,0)。
    2007-12-24 12:12:32
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