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一个线性代数证明题谢谢设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A1

2006-09-19 20:28:02s***
设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明： 方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件是b为A*x=0的解 证明充分性： 因为 b是A*x=0的解，即A*x=0有非零解 所以 r(A*)<n,又 A11≠0 所以r(A*)=1,r(A)=n-1 同时由 A*A=∣A∣E=0, A*b=0 令A=(a1,a2,……an),则a1,a2,……an是A*x=0的解 因为A11≠0，所以a2,……an线性无关 所以a2,……an是方程组A*x=0的基础解系 b可a2,……an线性表示，即b可由a1,a2,……an线性表示 因为Ax=b有解，又r(A)=n－1，所以Ax=b有无穷多解 这证明过程我从第２步就没看懂！！请说明一下　十分感谢！！！ 一个线性代数证明题谢谢设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件是b为A*x=0的解证明充分性：因为b?

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  •   命题1。A为n阶方阵，则 A可逆《==》r(A)=n《==》Ax=0有非零解 命题2。A为n阶方阵，则 A可逆《==》A*可逆 命题3。A，B为n阶方阵，AB=0 则r(A)+r(B)≤n, 证明充分性： 1。因为 b是A*x=0的解，即A*x=0有非零解（命题1。
      ） ==》A*不可逆 ==>r(A*)r(A)r(A)=n-1 (这是r(A)的定义） 3。A*A=∣A∣E=0==》 r(A*)+r(A)≤n, ==》r(A*)≤1，而A*≠0（A11≠0 ） ==》r(A*)=1。 4。0=A*A=(A*a1,A*a2,……，A*an) ==》A*a1=A*a2=……=A*an=0 又因为A11≠0， ==》R（a2,……，an）=n-1(这是r(a2,……，an)的定义） 所以a2,……an线性无关。
       ==》又因为A*x=0的解空间的维数= =n-r(A*)=n-1 ==》a2,……an是方程组A*x=0的基础解系 ==》b=λ2a2+……+λnan= =(a1,a2,……，an)（0，λ2，……，λn）^t= =A（0，λ2，……，λn）^t 5。
      又r(A)=n－1==》Ax=0有无穷多解 ==》Ax=b有无穷多解。 而必要条件显然。 。
    2006-09-20 20:01:13
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