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i-ab-线性代数设A,B为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，证明：-I-AB-百科知识人

2011-01-21 21:20:374***
设A,B为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，证明：|I-AB|=0当且仅当|I-BA|=0【i-ab】线性代数设A,B为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，证明：|I-AB|=0当且仅当|I-BA|=0：记A的逆为a，B的逆为b 如果|I-BA|=0, 则|aA-BA?

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  • 记A的逆为a，B的逆为b 如果|I-BA|=0, 则|aA-BA| = |(a-B)A|=0; |I-AB|=|Aa-AB|=|A(a-B)I|=|A(a-B)Aa|=|A||(a-B)A||a| 因为|(a-B)A|=0， 所以|I-AB|=|A||(a-B)A||a|=0； 同样，如果|I-AB|=0，则 |I-BA|=0； 所以|I-AB|=0当且仅当|I-BA|=0
    2011-01-22 02:34:01
  • 觉得应该有很多人都回答了，就当是学习了， 有问题大家指教： 证明一侧就足够了，另一侧的方法也是一样的： 假设|I-AB|=0，那么说明AB有一个特征值1，存在非零的特征向量x，使得ABx=x，因为x非零，所以Bx也是一个非零的向量（否则，矛盾），同时： BA*(Bx)=B*ABx=Bx ==> (I-BA)Bx=0. 所以，1也是BA的一个特征值，所以|I-BA|=0。得证！
    2011-01-22 10:49:19
  • 当且仅当表明是一个充要条件，也可以用逆否命题来证明。 若 |I-AB| 不等于0， 则 |AB-I|=(-1)^n |I-AB| 也不等于零。 证毕
    2011-01-22 09:49:56
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