百科知识

教育/科学

裴波那契数列是怎样的数列？有什么特别的地方？

2019-05-10 08:01:25都***
裴波那契数列是怎样的数列？有什么特别的地方？裴波那契数列是怎样的数列？有什么特别的地方？：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170?

最佳回答

  •   “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
      他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
    　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
    　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
      它的通项公式为：(1/√5)*{[(1 √5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）
    　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
    【奇妙的属性】
    　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0。
      6180339887……
    　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）
    　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
      
    　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,。。。,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
    　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
    　　1。
      f(0) f(1) f(2) … f(n)=f(n 2)-1
    　　2。f(1) f(3) f(5) … f(2n-1)=f(2n)-1
    　　3。f(0) f(2) f(4) … f(2n)=f(2n 1)-1
    　　4。
      [f(0)]^2 [f(1)]^2 … [f(n)]^2=f(n)·f(n 1)
    　　5。f(0)-f(1) f(2)-… (-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n 1)-f(n)] 1
    　　6。
      f(m n)=f(m-1)·f(n-1) f(m)·f(n)
    　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
    　　7。[f(n)]^2=(-1)^(n-1) f(n-1)·f(n 1)
    　　8。
      f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
    　　9。3f(n)=f(n 2) f(n-2)
    　　10。f(2n-2m-2)[f(2n) f(2n 2)]=f(2m 2) f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列
    　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
    　　1
    　　1 1
    　　1 2 1
    　　1 3 3 1
    　　1 4 6 4 1
    　　……
    　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
    　　斐波那契数与植物花瓣
    　　3………………………百合和蝴蝶花
    　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
    　　8………………………翠雀花
    　　13………………………金盏草
    　　21………………………紫宛
    　　34、55、89……………雏菊
    　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
      例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
      多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
    【相关的数学问题】
    　　1。排列组合
    　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
    　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
    　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
      
    　　2。数列中相邻两项的前项比后项的极限
    　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n 1)的极限是多少？
    　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1 √5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
      
    　　3。求递推数列a(1)=1，a(n 1)=1 1/a(n)的通项公式
    　　由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n 1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
    【斐波那契数列别名】
    　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
      
    　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
    　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
    　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
    　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
    　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
    　　－－－－－－
    　　依次类推可以列出下表：
    　　经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12
    　　兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144
    　　表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
      这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
    　　这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
    　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n 2)=an a(n 1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2）n-（1-√5/2） n]（n=1,2,3。
      。。。。）。
    2019-05-10 08:03:24
    • 很赞哦！ (38)

    相关文章