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高等代数线性空间关于子空间直和题型

2012-12-25 21:06:541***
高等代数线性空间关于子空间直和题型：【1】容易用定义证明 V_2 是子空间，此处不赘述。 【2】先证明每一个基向量都在 V_1 和 V_2 的和空间中，即 a?

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  •   【1】容易用定义证明 V_2 是子空间，此处不赘述。 【2】先证明每一个基向量都在 V_1 和 V_2 的和空间中，即 alpha_i 可以分解成 a_i+b_i，其中 a_i 在 V_1 中，b_i 在 V_2 中。对于 alpha_1，只有这么设定即可： a_1 = (1/n)*[alpha_1 + alpha_2 +。
      。。+ alpha_n] b_1 = (1/n)*[(n-1)alpha_1 - alpha_2 - 。。。 - alpha_n] 很明显，alpha_1 = a_1 + b_1，而且 a_1 在 V_1 中，b_1 在 V_2 中。对其他基向量，也可做相似分解。
       【3】因为 alpha_1,。。。,alpha_n 是 V 的基，V 中的任意向量都可以写成这些基向量的线性组合。有了结论 【2】 可以轻易证明任意 V 中的向量也同样的分解。 事实上，看清之后，【2】【3】两步可以合并在一起证明。 【4】证明 V_1 和 V_2 的交只含有零向量。
      这可以用反证法：假设一个非零向量 u 即在 V_1 中，也在 V_2 中，则 u=k(alpha_1+。。。+alpha_n) (k不等于0) u=k_1 alpha_1+。。。+k_n alpha_n 利用基向量的线性无关性，可知 k_1=k_2=。
      。。=k_n=k，于是根据 V_2 的限定可判断 k_1=k_2=。。。=k_n=0。
    2012-12-26 12:55:52
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