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（2014秋•恩施州期末）已知数列{an}的首项为a1=5，前n?

2018-05-04 16:29:22M***
（2014秋•恩施州期末）已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn，且Sn 1=2Sn n 5（n∈N ）．
（1）证明：数列{an 1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设关于x的函数f（x）=（a1 1）x （a2 1）x2 … （an 1）xn，求函数f（x）在点x=1处的导致f′（1）的值．（2014秋•恩施州期末）已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn，且S...（2014秋•恩施州期末）已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn?

最佳回答

  •   证明：（1）由已知Sn 1=2Sn n 5（n∈N ），
    可得n≥2时，Sn=2Sn-1 n 4，
    两式相减得Sn 1-Sn=2（Sn-Sn-1） 1，即an 1=2an 1．
    则an 1 1=2（an 1）（n≥2）．
    当n=1时，S2=2S1 1 5，则a2 a1=2a1 6，
    又a1=5，得a2=11．即a2 1=2（a1 1）．
    所以an 1 1=2（an 1），n∈N ，
    又a1=5，a1 1≠0，
    所以数列{an 1}成等比数列；
    解：（2）因为f（x）=（a1 1）x （a2 1）x2 … （an 1）xn，
    所以f′（x）=（a1 1） 2（a2 1）x … n（an 1）xn-1，
    则f′（1）=（a1 1） 2（a2 1） … n（an 1），
    由（1）知an 1=6×2n-1=3×2n，代入上式得，
    f′（1）=（a1 1） 2（a2 1） … n（an 1）
    =3（1•21 2•22 3•23 … n•2n），①
    2f′（1）=3（1•22 2•23 3•24 … n•2n 1），②
    ①-②可得，-f′（1）=3（2 22 23 … 2n-n•2n 1）
    =3（2(1-2n)1-2-n•2n 1）=3（1-n）2n 1-6，
    所以f′（1）=3（n-1）2n 1 6．。
      
    2018-05-04 18:23:21
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