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求y=x+3+(-3x^2+6x+12)^(1/2)的值域.

2011-05-16 19:27:18s***
求y=x+3+(-3x^2+6x+12)^(1/2)的值域.：本题解法非常多,以下举两法: (1) y=x+3+根(-3x^2+6x+12) →(y-?

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  • 本题解法非常多,以下举两法: (1) y=x+3+根(-3x^2+6x+12) →(y-x-3)^2=-3x^2+6x+12 →4x^2-2yx+y^2-6y-3=0 △=(-2y)^2-4×4×(y^2-6y-3)≥0 →y^2-8y-4≤0 →4-2根5≤y≤4+2根5. ∴y值域为[4-2根5,4+2根5]. (2) y=x+3+根(-3x^2+6x+12) →y-4=1×(x-1)+(根3)×根[5-(x-1)^2] 依Cauchy不等式,得 (y-4)^2={1×(x-1)+(根3)×根[5-(x-1)^2]}^2 ≤[1^2+(根3)^2][(x-1)^2+5-(x-1)^2] =20 ∴(y-4)^2≤20 ∴4-2根5≤y≤4+2根5, 即y值域为: [4-2根5,4+2根5].
    2011-05-16 22:25:39
  • 令由y=x+3+[15-3(x-1)^2]^(1/2)知|x-1|≤√5 设x-1=√5cosa(a∈[0,π])，则y=√5cosa+4+√15sina=2√5sin(a+b)+4,所以值域为[4-2√5,4+2√5]
    2011-05-16 21:05:36
  • -3x^2+6x+12=-3（x^2-2x+1)+15=15-3(x-1)^2, /x-1/≤√5,
    2011-05-16 19:59:50
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