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解析几何已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在X轴上，△ABC的三

2009-01-12 10:06:47蓝***
已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在X轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线L的方程为4X+Y-20=0. (1)求抛物线S的方程; (2)若O是坐标原点,P,Q是抛物线S上的两个动点, 且OP⊥OQ,试说明动直线PQ是否过定点.解析几何已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在X轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线L的方程为4X+Y-20=0.?

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  •   (1)设抛物线S方程为y^2=2px,焦点F(p/2,0),p≠0 L:y=20-4x 代入抛物线方程 8x^2-(80+p)x+200=0 方程两根为C,D横坐标,x1+x2=10+p/8 y1+y2=-p/2 设CD中点为M,则M(5+p/16,-p/4) F为重心,则|AF|/|FM|=2 设A点坐标(m,n) [m+(5+p/16)*2]/(1+2)=p/2,m=3p/2-10-p/8=11p/8-10 [n+(-p/4)*2]/(1+2)=0,n=p/2 A在S上: (p/2)^2=2p*(11p/8-10) p=8 S:y^2=16x (2)设P(m^2/16,m) OP斜率:k1=m/(m^2/16)=16/m OQ斜率:k2=-1/k1=-m/16 OQ方程:y=-m/16*x m^2/16^2*x^2=16x,x=0或x=16^3/m^2 Q(16^3/m^2,-16^2/m) PQ方程: (y-m)/(x-m^2/16)=(-16^2/m-m)/(16^3/m^2-m^2/16) =-16m(16^2+m^2)/(16^4-m^4)=-16m/(16^2-m^2) -16mx=16^2y-m^2y-16^2m 16m(16-x)=y(16^2-m^2) 过定点(16,0)。
      
    2009-01-13 13:25:28
  •   设：抛物线是：y^2=2px ,坐标点：B(x1,y1),C(x2,y2),A(x3,y3)。 把直线L方程4X+Y-20=0，代入抛物线方程。得： 2y^2+Py-20P=0 (1) 16x^2-x(160+2P)+400=0 (2) y1+y2=-2/P --------->x1+x2=(80+p)/80 ∵ △ABC的重心为抛物线的焦点， ∴（x1+x2+x3)/3=P/2===>x3=(11P-80)/8 (y1+y2+y3)/3=0====>y3=P/2 即：A点坐标是：A[（11P-80)/8,P/2],代入抛物线方程得： y^2=2Px==>(p/2)^2=2P*(11P-80)/8==>p=8 所以抛物线方程是：y^2=16x (II)设 动直线PQ的方程是：y=kx+b。
      动点坐标是：P(xp,yp), Q(xQ,yQ), (1)如果直线有斜率。
       将y=kx+b代入抛物线y^2=16x得： （1）k^2x^2+(2kb-16)x+b^2===>xp*xq=b^2/k^2 (2)ky^2-16y+16b=0===>yp*yq=16b/k ∵ OP⊥OQ,OP的斜率是：kp=yp/xp,OQ的斜率是：kq=yq/xq ∴kp*kq=-1==>yp/xp*yq/xq=-1 ==>yp*yq+xp*xq=0 ==>b^2/k^2+16b/k=0===>b=-16k 所以 动直线PQ方程是 ：y=kx-16b=k(x-16) 此时PQ过定点，（16，0） （2）如果PQ直线没有斜率；即PQ⊥X轴， △OPQ是等腰三角形，这时y=xp,y=-xq,代入y^2=16x得： P（16，16），Q（16，-16） 此时直线也过点（16，0） 所以直线过定点，（16，0） 。
    2009-01-13 13:30:03
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