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设AB为实对称半正定矩阵设A，B为实对称半正定矩阵，证明：Tr(

2006-10-02 17:06:55l***
设A，B为实对称半正定矩阵，证明：Tr(AB)=0 => AB=0设A，B为实对称半正定矩阵，证明：如果Tr(AB)=0，则AB=0。其中Tr(A)为矩阵A的迹。设AB为实对称半正定矩阵设A，B为实对称半正定矩阵，证明：Tr(AB)=0=AB=0设A，B为实对称半正定矩阵，证明：如果Tr(AB)=0，则AB=0。?

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  •   命题1。AA^t=0==>A=0 A^t为A的转置。 命题2。Tr(A)=Tr(PAP^（-1）) 定理。 A为实对称半正定矩阵 《==》有正交矩阵P，对角矩阵R， R的对角线为所有A的特征值， 使A=PRP^t=PRP^（-1） 《==》有矩阵Q，R（Q）=R（A）， 使A=QQ^t 1。
      根据定理的 “有正交矩阵P，对角矩阵R， R的对角线为所有A的特征值， 使A=PRP^t=PRP^（-1）”和 命题2==》 可设A对角矩阵， 对角线为所有A的特征值。 记A的分块。 A= A1，0 0 ，0 A1对角矩阵， 对角线为所有A不为0的特征值。
       2。将B分为和A的分块一样， B= B1，B2 B3，B4 ==》 AB= A1B1，A1B2 0 ，0 ==》 Tr(AB)=Tr(A1B1)=0 其中B1为实对称半正定矩阵。 3。Tr(A1B1)=0和A1对角矩阵， 对角线为所有A不为0的特征值。
       ==》Tr(B1)=0 根据定理的 “有矩阵Q，R（Q）=R（B1）， 使B1=QQ^t” ==》Tr(B1)=R（QQ^t） 而R（QQ^t）=所有Q的元素的平方和。 ==》Q=0==》B1=0==》A1B1=0。 4。B= B1，B2 B3，B4 = 0 ，B2 B3，B4 根据定理的 “有矩阵Q，R（Q）=R（B）， 使B=QQ^t” 将Q分为和B的分块一样， Q= Q1，Q2 Q3，Q4 ==》 0=B1=Q1（Q1）^t+Q2（Q2）^t ==》Q1（Q1）^t=Q2（Q2）^t=0 ==》Q1=Q2=0（命题1）。
       ==》 B= 0，0 0，B4 ==》 AB= 0，0 0，0 =0。 。
    2006-10-03 05:59:08
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