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求教2个线性代数问题问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一

2006-10-16 15:03:47小***
问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B,使A*B+B的转置*A是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件. 问题2:设A,B均是n阶矩阵,且秩(A)+秩(B)<n,证明:A,B有公共的特征向量. 问题出自陈文登考研复习书,谢谢求教2个线性代数问题问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B,使A*B+B的转置*A是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件.问题2:设A,B均是?

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  • 问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B, 使AB+B^tA是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件, B^t=B的转置 1.设秩(A)=n==> A^2是正定矩阵. B=A/2 ==> AB+B^tA=A^2是正定矩阵. 2.设AB+B^tA=C是正定矩阵. A是一个n阶实对称矩阵==> 有n阶实正交矩阵Q，使 A=Q^t diag（λ1，λ2，。。，λn）Q， λ1，λ2，。。，λn为A的所有特征值。 ==》 diag（λ1，λ2，。。，λn）QBQ^t+ +QB^tQ^tdiag（λ1，λ2，。。，λn）=QCQ^t={cij}。 QCQ^t是正定矩阵. 若秩(A）n-Dim[E1+E2]≥0 ==》E1∩E2中有非零向量X ==》AX=BX=0==》X是A,B的公共的特征向量。
    2006-10-16 21:38:19
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