高二数学题在直线L:3x-4y+4=0上找一点M使它到点A(-3
2005-02-15 09:00:19m***
在直线L:3x-4y+4=0上找一点M使它到点A(-3,-5),B(2,15)的距离之和最小,并求出最小值。(请写出详细过程)高二数学题在直线L:3x-4y+4=0上找一点M使它到点A(-3,-5),B(2,15)的距离之和最小,并求出最小值。(请写出详细过程):画出方程3x-4y+4?
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|AB|就不是|PA|+|PB|的最小值。必须另劈蹊径。以求得线段AB的“替代”,使得“=”能够成立。 根据等量替代以及轴对称的性质,知道点A关于直线L的对称点A',就能够满足题目的要求。因为,线段AA'被直线L垂直平分,因此|AP|=|A'P|,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|>=|A'B|。
而且,因为二直线的交点P在点A'和点B之间。因此“=”能够成立。所以,线段|A'B|的长就是|PA'|+|PB|也就是|PA|+|PB|的最小值。 为此设点A'(x,y)是点A(-3,-5)关于直线L的对称点,k(AA')=-1/k(L)=-4/3。
(*)线段AA'的中点Q((x-3/2,(y-5)/2)在直线L:3x-4y+4=0上, 所以3*(x-3)/2-4*(y-5)/2+4=0--->3x-4y+19=0……(1); (*)--->(y+5)/(x+3)=-4/3)--->4x+3y+27=0……(2) 解(1)、(2)组成的方程组得到:x=-33/5;y=1/5。
于是得到点A'(-33/5,-1/5) |A'B|=[(2+33/5)^2+(15+1/5)^2]^。5=…………。就是所要求的最小值。 [如果需要,以下只要求出直线AA'的方程,并且与直线L的方程在一起,解方程组就得到点P的坐标。]。
2005-02-15 12:49:26
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