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圆的难题!!!△ABC内接于⊙O,F是高AD,BE的交点,OM⊥

2006-10-22 21:48:026***
△ABC内接于⊙O,F是高AD,BE的交点,OM⊥BC于M.求证:OM=1/2AF圆的难题!!!△ABC内接于⊙O,F是高AD,BE的交点,OM⊥BC于M.求证:OM=1/2AF：如图： 作直径BH，连结AH，CH，连结CF并延长交AB于G?

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  • 如图： 作直径BH，连结AH，CH，连结CF并延长交AB于G。 因为BH为直径。 所以，CH垂直BC。（直径所对的圆周角是直角） 又因为AD垂直BC， 所以，AD平行于HC 因为F是三角形ABC的垂心。（F是高BE和AD的交点）　 所以CG垂直AB。 BH是直径， 所以AH垂直AB。（直径所对的圆周角是直角） 所以AH平行于CG。 所以AFCH是平行四边形。 所以AF＝CH。 在三角形BCH中，O是BH中点，OM垂直BC，CH垂直BC。 所以OM平行于CH。 OM是三角形中位线。 所以OM＝1/2CH 所以OM＝1/2AF。
    2006-10-22 22:17:51
  • 其实这题并不难，由于不会分析，看上去难就觉得难了。 分析：要证OM=1/2AF ，OM是半线段，端点M是BC的中点，而O是圆心，圆心是直径的中点！ 因此是个多中点问题添直径BOH后，连结CH，OM就是三角形BCH的中位线！这时OM=1/2CH， 故只须证明AF=CH，而易知AF//CH， 故只须证明AFCH为平行四边形，只须证明AH//CF。十分简单了！ 略证： 作直径BOH，连结AH，CH， 易知OM为三角形BCH的中位线，∴OM=1/2CH， BH为直径，则∠BCH=90°，又AD⊥BC，∴AF//CH， 同理CF//AH ∴四边形AFCH为平行四边形， ∴AF=CH， ∴OM=1/2AF。
    2006-10-24 15:56:31
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