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直线与圆的方程4已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和

2006-02-13 11:57:48水***
已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和。 求证，四边形的对角线互相垂直直线与圆的方程4已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和。求证，四边形的对角线互相垂直：如图，AB^2+CD^2=AD^2+BC^2，AC交BD与点O ?

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  •   如图，AB^2+CD^2=AD^2+BC^2，AC交BD与点O 设∠AOB=∠COD=θ，则∠AOD=∠BOC=π-θ AB^2=OA^2+OB^2+2*OA*OB*cosθ CD^2=OC^2+OD^2+2*OC*OD*cosθ AD^2=OA^2+OD^2+2*OA*OD*cos(π-θ) =OA^2+OD^2-2*OA*OD*cosθ BC^2=OB^2+OC^2+2*OB*OC*cos(π-θ) =OB^2+OC^2-2*OB*OC*cosθ 由AB^2+CD^2=AD^2+BC^2得： OA^2+OB^2+2*OA*OB*cosθ+OC^2+OD^2+2*OC*OD*cosθ= OA^2+OD^2-2*OA*OD*cosθ + OB^2+OC^2-2*OB*OC*cosθ 化简得：2*OA*OB*cosθ+2*OC*OD*cosθ+2*OA*OD*cosθ +2*OB*OC*cosθ=0 即2*(OA+OC)*(OB+OD)*cosθ=0 而OA+OC>0，OB+OD>0 ∴cosθ=0，θ=90°，即AC⊥BD 。
      
    2006-02-13 13:57:34
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