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点O为三角形ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3,使λ1OA?

2008-06-07 17:33:44爱***
点O为三角形ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3,使λ1OA+λ2OB+λ3OC=0( 向量),点O为三角形ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3,使λ1OA+λ2OB+λ3OC=0( 向量),设三角形AOB,AOC的面积分别为S1,S2,则S1:S2=? A.λ1:λ2 B.λ2:λ3 C.λ3:λ2 D.λ2:λ1点O为三角形ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3,使λ1OA+λ2OB+λ3OC=0(向量),点O为三角形ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3,使λ1O?

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  •   λ1OA+λ2OB+λ3OC=0 λ1OA=-λ2OB-λ3OC OA=-λ2OB/λ1-λ3OC/λ1 用叉积，非常容易 S1：S2=|OA xOB|:|OA xOC|=|λ3/λ1OC xOB|:|λ2/λ1OB xOC|=λ3:λ2。
       如果没有学过叉积，也不难,只是稍微复杂些。 S1:S2=|OA||OB|sin(AOB):|OA||OC|sin(AOC) OA=-λ2OB/λ1-λ3OC/λ1=-mOB-nOC,这儿m=λ2/λ, n=λ3/λ1, m,n>0。 |OA||OB|cos(AOB)=OA。
      OB=-m|OB|^2-nOB。OC=-m|OB|^2-n|OB||OC|cos(BOC) 所以|OA|cos(AOB)=-m|OB|-n|OC|cos(BOC)。 |OA|^sin^2(AOB)=|OA|^2-(-m|OB|-n|OC|cos(BOC))^2=(-mOB-nOC)。
      (-mOB-nOC)-(m|OB|+n|OC|cos(BOC))^2=m^2|OB|^2+2mnOB。OC+n|OC|^2-[m^2|OB|^2+2mn|OB||OC|cos(BOC)+n^2|OC|^2cos^2(BOC)]=n|OC|^2(1-cos^2(BOC)=n^2|OC|^2sin^2(BOC)。
      所以|OA|sin(AOB)=n|OC|sin(BOC) 同理， |OA|sin(AOC)=m|OB|sin(BOC) 因此 OA。OC=-n|OC|^2-mOB。OC 所以S1:S2=|OA||OB|sin(AOB):|OA||OC|sin(AOC)=n|OB||OC|sin(BOC):m|OB||OC|sin(BOC)=n:m=λ3:λ2。
      
    2008-06-08 03:05:12
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