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竞赛几何问题-1竞赛几何问题圆O为三角形ABC的外接圆圆心,圆Q

2010-01-19 08:07:13风***
竞赛几何问题 圆O为三角形ABC的外接圆圆心, 圆Q与圆O内切于T, 并与AB,AC分别切于P,Q. 求证 PQ的中点I是三角形ABC的内心. 竞赛几何问题-1竞赛几何问题圆O为三角形ABC的外接圆圆心,圆Q与圆O内切于T,并与AB,AC分别切于P,Q.求证PQ的中点I是三角形ABC的内心.：此题曾证过?

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  •   此题曾证过,附上 设一圆与△ABC两边AB,AC切于P,Q,且与其外接圆也相切。求证PQ的中点是△ABC的内心。 设这个圆为⊙N,PQ中点为M,易知A。M。N共线 设△ABC外接圆为⊙0,设直线AM交⊙O于D, 设⊙O,⊙N切于点E,易知O。
      N。
      E共线,设直线OE交⊙于F,则EF为直径 连BD,BM,NQ,易知NQ⊥AC 易知AD⊥PQ于M,AD平分∠BAC,设∠BAD=∠CAD=α ∵NQ⊥AC ∴AN=NQ/sin∠CAD=r/sinα ∵AN*DN=EN*FN ∴DN=EN*FN/AN=r(2R-r)/(r/sinα)=(2R-r)sinα ∵NQ⊥AC,AD⊥PQ ∴∠NQM=∠CAD=α ∴MN=NQsin∠NQM=r*sinα ∴DM=DN+MN=2Rsinα 由正弦定理:BD=2Rsin∠BAD=2Rsinα ∴DM=BD ∴∠DBM=∠DMB ∵∠DBM=∠DBC+∠MBC=∠CAD+∠MBC=α+∠MBC ∠DMB=∠BAD+∠MBA=α+∠MBA ∴∠MBC=∠MBA 即BM平分∠ABC 又AM平分∠BAC ∴PQ中点M是△ABC的内心 。
    2010-01-20 21:07:22
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