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定积分-定积分计算在-a,a-上求定积分∫(a-x)√(a^2-x^2

2006-11-18 10:45:04X***
在[-a,a]上求定积分∫(a-x)√(a^2-x^2)【定积分】定积分计算在[-a,a]上求定积分∫(a-x)√(a^2-x^2)：对不起,少了一个dx 应该是在[-a,a]上求定积分∫(a-x)√(a^2-x^2)dx ?

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  • 对不起,少了一个dx 应该是在[-a,a]上求定积分∫(a-x)√(a^2-x^2)dx (a-x)√(a^2-x^2)=a√(a^2-x^2)-x√(a^2-x^2) a√(a^2-x^2)是偶函数,x√(a^2-x^2)是奇函数 奇函数在对称区间上的定积分为0 所以[-a,a]∫(a-x)√(a^2-x^2)dx=[-a,a]a∫√(a^2-x^2)dx 设y=√(a^2-x^2),x在[-a,a]上,这是以a为半径的半圆 根据定积分的几何意义,[-a,a]∫√(a^2-x^2)dx=πa^2/2 所以[-a,a]∫(a-x)√(a^2-x^2)dx=[-a,a]a∫√(a^2-x^2)dx =a*πa^2/2=πa^3/2
    2006-11-18 14:50:51
  • ∫(a-x)√(a^2-x^2) dx=∫√(a-x)/(a+x) dx, 设t=√(a-x)/(a+x) ，则x=a/t^2-a,dx=(-2a/t^3)dt, ∫√(a-x)/(a+x)dx=∫(-2a/t^2)dt=∫(2a)d(1/t) =(1/a)-(-1/a)=2/a
    2006-11-18 11:55:57
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